Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть [math]\displaystyle{ l }[/math] — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

[math]\displaystyle{ l\colon~\mathbf r(t), }[/math]

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] При этом не играет роли, что больше — b или a.^[1]

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой [math]\displaystyle{ l\colon }[/math] [math]\displaystyle{ f(\mathbf r) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbf f(\mathbf r). }[/math]

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

Пусть дано разбиение отрезка [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] (или [math]\displaystyle{ [b,a] }[/math]) то есть множество [math]\displaystyle{ \{t_k\}_{k=0}^{n}=\{t_0,~...,t_n\}, }[/math] где:
- [math]\displaystyle{ a=t_0\lt \ldots\lt t_n=b, }[/math] если [math]\displaystyle{ a\lt b; }[/math]
- или [math]\displaystyle{ a={{t}_{0}}\gt \ldots\gt {{t}_{n}}=b, }[/math] если [math]\displaystyle{ a\gt b. }[/math]

Мелкостью этого разбиения называется число [math]\displaystyle{ \max_{k=\overline{1,n}}\{|t_k-t_{k-1}|\}, }[/math] обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

Введём набор промежуточных точек разбиения — точек [math]\displaystyle{ \xi_k, }[/math] каждая из которых лежит между [math]\displaystyle{ t_{k-1} }[/math] и [math]\displaystyle{ t_k }[/math] ([math]\displaystyle{ k=\overline{1,n} }[/math]).

Разбиение кривой

Зададим разбиение кривой [math]\displaystyle{ \{\mathbf r(t_k)\}_{k=0}^n, }[/math] которое соответствует разбиению [math]\displaystyle{ \{t_k\}_{k=0}^n }[/math] отрезка параметризации.

За [math]\displaystyle{ l_k }[/math] обозначим часть кривой [math]\displaystyle{ \mathbf r(t) }[/math] от значения параметра [math]\displaystyle{ t=t_{k-1} }[/math] до значения [math]\displaystyle{ t=t_k, }[/math] где [math]\displaystyle{ k=\overline{1,n}. }[/math]

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек [math]\displaystyle{ \mathbf r(\xi_k), }[/math] каждая из которых лежит на [math]\displaystyle{ l_k }[/math] ([math]\displaystyle{ k=\overline{1,n} }[/math]).

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки [math]\displaystyle{ \mathbf r(\xi_k), }[/math] разбиение [math]\displaystyle{ \{t_k\}_{k=0}^n }[/math] и участки [math]\displaystyle{ l_k }[/math] кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] Рассмотрим две интегральные суммы:

интегральную сумму для интеграла первого рода:
[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^nf\big(\mathbf r(\xi_k)\big)\cdot|l_k|, }[/math] где |l_k| — длина участка l_k;

интегральную сумму для интеграла второго рода:
[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n\mathbf f\big(\mathbf r(\xi_k)\big)\cdot\big(\mathbf r(t_k)-\mathbf r(t_{k-1})\big), }[/math]

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k₋₁).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции [math]\displaystyle{ f }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math]) по кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция [math]\displaystyle{ f }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math]) интегрируема по кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

[math]\displaystyle{ \int_l{f(\mathbf r)|\mathbf{dr}|}, \quad\int_l\mathbf{f(r)\cdot dr}, }[/math]

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая [math]\displaystyle{ l }[/math] замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка [math]\displaystyle{ \textstyle\int }[/math] принято писать [math]\displaystyle{ \textstyle\oint. }[/math]

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

Линейность:
[math]\displaystyle{ \int_l(\alpha f(\mathbf r)+\beta g(\mathbf r))\cdot\mathbf{|dr|} = \alpha\int_l f\mathbf{|dr|} + \beta\int_l g\mathbf{|dr|}. }[/math]
Аддитивность: если [math]\displaystyle{ l_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ l_2 }[/math] пересекаются в одной точке, то
[math]\displaystyle{ \int_{l_1\cup l_2}f\mathbf{|dr|} = \int_{l_1}f\mathbf{|dr|}+ \int_{l_2}f\mathbf{|dr|}. }[/math]
Монотонность: если [math]\displaystyle{ f \leqslant g }[/math] на [math]\displaystyle{ l }[/math], то
[math]\displaystyle{ \int_lf\mathbf{|dr|}\leqslant\int_lg\mathbf{|dr|}. }[/math]
Теорема о среднем: при непрерывности функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ l }[/math] для интеграла [math]\displaystyle{ \textstyle\int_lf\mathbf{|dr|} }[/math] возможно подобрать такую точку [math]\displaystyle{ \xi\in l, }[/math] что
[math]\displaystyle{ \int_lf\mathbf{(r)|dr|}=\int_lf(\xi)\mathbf{|dr|}, }[/math] или, что то же самое, [math]\displaystyle{ \int_lf\mathbf{(r)|dr|}=f(\xi)\cdot|l|. }[/math]
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
[math]\displaystyle{ \int_{AB}f\cdot|\mathbf{dr}|=\int_{BA}f\cdot|{-}\mathbf{dr}|=\int_{BA}f\cdot|\mathbf{dr}|. }[/math]
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть [math]\displaystyle{ l }[/math] — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция [math]\displaystyle{ f(\mathbf r) }[/math] определена и интегрируема вдоль кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] Тогда в общем случае

[math]\displaystyle{ \int_l{f(\mathbf r)|\mathbf{dr}|}=\int_a^bf(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)dt|=\int_b^af(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)dt|, }[/math]

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

[math]\displaystyle{ \int_l{f(\mathbf r)|\mathbf{dr}|}= \begin{cases} \int\limits_a^bf(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)|dt=\int\limits_b^af(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)|(-dt), &\text{если}~a\lt b, \\ \int\limits_a^bf(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)|(-dt)=\int\limits_b^af(\mathbf r)\cdot|\mathbf\dot r(t)|dt, &\text{если}~a\gt b. \end{cases} }[/math]

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Свойства

1. Линейность:

[math]\displaystyle{ \int_l(\alpha\mathbf f+\beta\mathbf g)\cdot\mathbf{dr} = \alpha\int_l\mathbf{f\cdot dr} + \beta\int_l\mathbf{g\cdot dr}. }[/math]

2. Аддитивность:

[math]\displaystyle{ \int_{AB}\mathbf{f\cdot dr} + \int_{BC}\mathbf{f\cdot dr} = \int_{ABC}\mathbf{f\cdot dr}. }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \int_{BA}\mathbf{f\cdot dr}=\int_{AB}\mathbf f\cdot(-\mathbf{dr})=-\int_{AB}\mathbf{f\cdot dr}. }[/math]

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция [math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math] определена и интегрируема вдоль кривой [math]\displaystyle{ l. }[/math] Тогда

[math]\displaystyle{ \int_{AB}\mathbf{f(r)\cdot dr}=\int_a^b\mathbf{f(r)\cdot\dot r}(t)dt, }[/math]

а при изменении обхода кривой:

[math]\displaystyle{ \int_{BA}\mathbf{f(r)\cdot dr}=\int_b^a\mathbf{f(r)\cdot\dot r}(t)dt=-\int_a^b\mathbf{f(r)\cdot\dot r}(t)dt. }[/math]

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за [math]\displaystyle{ {\vec{\tau }} }[/math] единичный вектор касательной к кривой [math]\displaystyle{ l, }[/math] который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

[math]\displaystyle{ \mathbf{\color{Green}dr}=\vec\tau\mathbf{\color{Green}|dr|}. }[/math]

В терминах самих интегралов это выглядит так:

[math]\displaystyle{ \int_l\mathbf{f\cdot\color{Green}dr}=\int_l\mathbf{(f\cdot\vec\tau)\color{Green}|dr|}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ l }[/math] — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция [math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math] интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

[math]\displaystyle{ dx=\cos\angle(\vec i,\vec\tau)|\mathbf{dr}|; }[/math]

[math]\displaystyle{ dy=\cos\angle(\vec j,\vec\tau)|\mathbf{dr}|; }[/math]

[math]\displaystyle{ dz=\cos\angle(\vec k,\vec\tau)|\mathbf{dr}|. }[/math]

Тогда, раскладывая скалярное произведение в [math]\displaystyle{ \textstyle\int_l\mathbf{f\cdot\color{Green}dr}=\int_l\mathbf{(f\cdot\vec\tau)\color{Green}|dr|} }[/math] по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

[math]\displaystyle{ \int_lf_x(x,y,z)dx=\int_lf_x(x,y,z)\cos\angle(\vec i,\vec\tau)|\mathbf{dr}|; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_lf_y(x,y,z)dy=\int_lf_y(x,y,z)\cos\angle(\vec j,\vec\tau)|\mathbf{dr}|; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_lf_z(x,y,z)dz=\int_lf_z(x,y,z)\cos\angle(\vec k,\vec\tau)|\mathbf{dr}|. }[/math]

Механические приложения

Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой

[math]\displaystyle{ A = \int_l\mathbf{F\cdot dr}. }[/math]

Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом

[math]\displaystyle{ m = \int_l\mathbf{\mu(r)|dr|}. }[/math]

Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор r_c как

[math]\displaystyle{ \mathbf r_c=\frac1m\int_l\mu(\mathbf r)\mathbf{r|dr|}, }[/math]где m — масса кривой l.

Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:

[math]\displaystyle{ I_x=\int_l(y^2 + z^2)\mu\mathbf{(r)|dr|}, }[/math]

[math]\displaystyle{ I_y=\int_l(z^2 + x^2)\mu\mathbf{(r)|dr|}, }[/math]

[math]\displaystyle{ I_z=\int_l(x^2 + y^2)\mu\mathbf{(r)|dr|}. }[/math]

Сила притяжения точечной массы m₀ в начале координат с криволинейным телом l равна

[math]\displaystyle{ \mathbf F=\gamma m_0\int_l\frac{\mu(\mathbf r)}{r^3}|\mathbf{dr}|, }[/math]

где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

Примечания

↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления, глава 9, параграф 2 «Свойства определенных интегралов». (неопр.). Дата обращения: 8 июня 2021. Архивировано 19 июля 2020 года.

[1] Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления, глава 9, параграф 2 «Свойства определенных интегралов». (неопр.). Дата обращения: 8 июня 2021. Архивировано 19 июля 2020 года.

[1]