Ньютонов потенциал

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|⁻¹:

[math]\displaystyle{ V=\frac{1}{|x|}*\rho. }[/math]

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциал

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x) = 0, [math]\displaystyle{ x\in\R^3\setminus\overline{G} }[/math], то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом, можно выразить через интеграл

[math]\displaystyle{ V(x)=\iiint\limits_G\frac{\rho(y)}{|x-y|}dy }[/math]

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C¹(ℝ³) и ΔV(x) = 0 при x ∈ [math]\displaystyle{ \R^3\setminus\overline{G} }[/math].

Потенциал простого слоя

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

[math]\displaystyle{ V^{(0)}=\frac{1}{|x|}*\mu\delta_S }[/math]

или в интегральном виде:

[math]\displaystyle{ V^{(0)}(x)=\iint\limits_S\frac{\mu(y)}{|x-y|}dS_y, }[/math]

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ³ и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_+=-2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_S, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_-=2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg| _S, }[/math]

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

[math]\displaystyle{ V^{(0)}(x)=\begin{cases} 4\pi\mu\frac{R^2}{|x|},\ |x|\geqslant R, \\ 4\pi\mu R,\ |x|\lt R. \end{cases} }[/math]

Потенциал двойного слоя

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

[math]\displaystyle{ V^{(1)}(x)=-\frac{1}{|x|}*\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}}(\nu\delta_S)= \iint\limits_S\nu(y)\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}_y}\frac{1}{|x-y|}dS_y= \iint\limits_S\mu\frac{\cos\varphi}{|x-y|^2}dS_y, }[/math]

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

[math]\displaystyle{ V^{(1)}_+(S)=2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S), }[/math]

[math]\displaystyle{ V^{(1)}_-(S)=-2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S). }[/math]

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

[math]\displaystyle{ V^{(1)}(x)=\begin{cases} 0,\ x\in\R^3\setminus\overline{G}, \\ -2\pi\nu,\ x\in S, \\ -4\pi\nu,\ x\in G. \end{cases} }[/math]

Физический смысл ньютоновских потенциалов

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. также

Литература

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.

Ссылки

[bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]