Интеграл Дирихле

Петер Густав Лежён Дирихле

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}. }[/math]

Этот интеграл не является абсолютно сходящимся, что означает [math]\displaystyle{ \Biggl| \frac{\sin x}{x} \Biggl| }[/math] не интегрируется по Лебегу, и, соответственно, интеграл Дирихле не определен в соответствии с интегрированием Лебега. Однако он определяется в соответствии с несобственным интегралом Римана или обобщенного интеграла Римана или Хенстока — Курцвейла. Значение интеграла (в соответствии с интегралом Римана или Хенстока) может быть получено различными способами, включая через преобразование Лапласа, двойное интегрирование, дифференцирование под знаком интеграла, контурное интегрирование и ядро Дирихле.

Определение

Преобразование Лапласа

Пусть [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] функция, определенная всякий раз, когда [math]\displaystyle{ t \geq 0 }[/math]. Тогда преобразование Лапласа функции имеет вид

[math]\displaystyle{ \mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt, }[/math]

если интеграл существует.

Свойство преобразования Лапласа, полезное для вычисления несобственных интегралов:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L} \Biggl [ \frac{f(t)}{t} \Biggl] = \int_{s}^{\infty} F(u) \,du, }[/math]

при условии, что [math]\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(t)}{t} }[/math] существует.

Это свойство можно использовать для вычисления интеграла Дирихле следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt &= \lim_{s \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} e^{-st}\frac{\sin t}{t} \, dt =\lim_{s \rightarrow 0}\mathcal{L} \Biggl [ \frac{\sin t}{t} \Biggl] \\[6pt] &= \lim_{s \rightarrow 0}\int_{s}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \lim_{s \rightarrow 0} \arctan u \Biggl |_{s}^{\infty} \\[6pt] &= \lim_{s \rightarrow 0} \Biggl[ \frac{\pi}{2} - \arctan (s)\Biggl] = \frac{\pi}{2}, \end{align} }[/math]

так как [math]\displaystyle{ \mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1} }[/math] преобразование Лапласа функции [math]\displaystyle{ \sin t }[/math]. (См. дифференцирование в разделе «Дифференцирование под знаком интеграла».)

Двойная интеграция

Вычисление интеграла Дирихле с помощью преобразования Лапласа эквивалентно попытке вычислить один и тот же дважды определенный интеграл двумя разными способами, изменив порядок интегрирования на противоположный, а именно:

[math]\displaystyle{ \left( I_1 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,dt \,ds \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,ds \,dt \right), }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( I_1 = \int_0^\infty \frac{1}{s^2 + 1} \,ds = \frac{\pi}{2} \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \,dt \right), }[/math] при условии [math]\displaystyle{ s \gt 0. }[/math]

Дифференцирование под знаком интеграла (трюк Фейнмана)

Сначала перепишем интеграл как функцию дополнительной переменной [math]\displaystyle{ a }[/math]. Пусть

[math]\displaystyle{ f(a)=\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega} \omega \, d\omega. }[/math]

Чтобы вычислить интеграл Дирихле, нам необходимо определить [math]\displaystyle{ f(0) }[/math].

Продифференцируем по [math]\displaystyle{ a }[/math] и применим формулу Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла чтобы получить

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{df}{da} & = \frac{d}{da}\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} \, d\omega = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial a}e^{-a\omega}\frac{\sin \omega} \omega \, d\omega \\[6pt] & = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega. \end{align} }[/math]

Теперь, используя формулу Эйлера [math]\displaystyle{ e^{i\omega}=\cos \omega + i\sin \omega, }[/math] можно выразить синусоиду через комплексные экспоненциальные функции. Таким образом, мы имеем

[math]\displaystyle{ \sin(\omega) = \frac{1}{2i} \left( e^{i \omega} - e^{-i \omega}\right). }[/math]

Следовательно,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{df}{da} & = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega = -\int_{0}^{\infty} e^{-a\omega} \frac{e^{i\omega} - e^{-i\omega}}{2i} d\omega \\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty} \left[ e^{-\omega(a-i)} - e^{-\omega(a + i)} \right] d\omega \\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left [ \frac{-1}{a - i} e^{-\omega (a - i)} - \frac{-1}{a + i} e^{-\omega (a + i)}\right] \Biggl|_0^{\infty} \\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left[ 0 - \left( \frac{-1}{a - i} + \frac{1}{a + i} \right) \right] = -\frac{1}{2i} \left( \frac{1}{a - i} - \frac{1}{a + i} \right) \\[6pt] &= -\frac{1}{2i} \left( \frac{a + i - (a -i)}{a^2 + 1} \right) = -\frac{1}{a^2 + 1}. \end{align} }[/math]

Интегрируя по [math]\displaystyle{ a }[/math] дает

[math]\displaystyle{ f(a) = \int \frac{-da}{a^2 + 1} = A - \arctan a, }[/math]

Где [math]\displaystyle{ A }[/math] постоянная интегрирования, которую необходимо определить. Поскольку [math]\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} f(a) = 0, }[/math] [math]\displaystyle{ A = \lim_{a \to \infty} \arctan (a) = \frac{\pi}{2}, }[/math] используя главное значение. Это означает

[math]\displaystyle{ f(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan{a}. }[/math]

Наконец, для [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] у нас есть [math]\displaystyle{ f(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan(0) = \frac{\pi}{2} }[/math], как прежде.

Комплексное интегрирование

Тот же результат может быть получен путем комплексного интегрирования. Рассмотрим

[math]\displaystyle{ f(z) = \frac{e^{iz}} z. }[/math]

Как функция комплексной переменной [math]\displaystyle{ z }[/math] оно имеет простой полюс в начале координат, что препятствует применению леммы Жордана, остальные условия которой выполнены.

Определим новую функцию

[math]\displaystyle{ g(z) = \frac{e^{iz}}{z + i\varepsilon}. }[/math]

Полюс был перемещен от реальной оси, поэтому [math]\displaystyle{ g(z) }[/math] интегрируется по полукругу радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math] в центре [math]\displaystyle{ z = 0 }[/math] и замкнута по реальной оси. Затем берем предел [math]\displaystyle{ \varepsilon \rightarrow 0 }[/math].

Комплексный интеграл равен нулю по теореме о вычетах, так как внутри пути интегрирования нет полюсов.

[math]\displaystyle{ 0 = \int_\gamma g(z) \,dz = \int_{-R}^R \frac{e^{ix}}{x + i\varepsilon} \, dx + \int_0^\pi \frac{e^{i(Re^{i\theta} + \theta)}}{Re^{i\theta} + i\varepsilon} iR \, d\theta. }[/math]

Второй член исчезает, когда [math]\displaystyle{ R }[/math] стремится к бесконечности. Что касается первого интеграла, то можно использовать одну версию теоремы Сохоцкого — Племеля для интегралов по вещественной прямой: для комплексной функции f, определенной и непрерывно дифференцируемой на вещественной прямой и вещественных константах [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math], зная [math]\displaystyle{ a \lt 0 \lt b }[/math] можно найти

[math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x \pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P} \int_a^b \frac{f(x)}{x} \,dx, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] обозначает главное значение Коши. Возвращаясь к приведенному выше исходному расчету, можно написать

[math]\displaystyle{ 0 = \mathcal{P} \int \frac{e^{ix}}{x} \, dx - \pi i. }[/math]

Взяв мнимую часть с обеих сторон и отметив, что функция [math]\displaystyle{ \sin(x)/x }[/math] четная, мы получаем

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx. }[/math]

В заключение,

[math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac \pi 2. }[/math]

В качестве альтернативы можно выбрать в качестве контура интегрирования для [math]\displaystyle{ f }[/math] объединение верхних полуплоских полуокружностей радиусов [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] и [math]\displaystyle{ R }[/math] вместе с двумя соединяющими их отрезками реальной линии. С одной стороны, контурный интеграл равен нулю независимо от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] и [math]\displaystyle{ R }[/math]; с другой стороны, при [math]\displaystyle{ \varepsilon \to 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ R \to \infty }[/math] мнимая часть интеграла сходится к [math]\displaystyle{ 2 I + \Im\big(\ln 0 - \ln(\pi i)\big) = 2I - \pi }[/math] ([math]\displaystyle{ \ln z }[/math] — любая ветвь логарифма на верхней полуплоскости), приводящий к [math]\displaystyle{ I = \frac{\pi}{2} }[/math].

Ядро Дирихле

Пусть

[math]\displaystyle{ D_n(x) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos(2kx) = \frac{\sin[(2n+1)x]}{\sin(x)} }[/math]

будет ядром Дирихле.

Отсюда следует, что

[math]\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}{2}}D_n(x) dx = \frac{\pi}{2}. }[/math]

Определяем

[math]\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin(x)} & x \neq 0 \\[6pt] 0 & x = 0 \end{cases} }[/math]

Ясно, что [math]\displaystyle{ f }[/math] является непрерывной, когда [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math], чтобы увидеть её непрерывность при 0, применяется правило Лопиталя.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x) - x}{x\sin(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x) - 1}{\sin(x) + x\cos(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{2\cos(x) - x\sin(x)} = 0. }[/math]

Следовательно, [math]\displaystyle{ f }[/math] удовлетворяет требованиям леммы Римана-Лебега. Это означает

[math]\displaystyle{ \lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b f(x)\sin(\lambda x)dx = 0 \Rightarrow \lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx = \lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx. }[/math]

(Используемая здесь форма леммы Римана-Лебега доказана в цитируемой статье.)

Выбираем пределы [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b = \pi/2 }[/math]. Мы хотим сказать что

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t}dt = & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\lambda\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t)}{t}dt \\[6pt] = & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx \\[6pt] = & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx \\[6pt] = & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx \\[6pt] = & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} D_n(x) dx = \frac{\pi}{2} \end{align} }[/math]

Однако для этого мы должны обосновать переключение реального предела в [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] на интегральный предел в [math]\displaystyle{ n }[/math]. На самом деле это оправдано, если мы можем показать, что предел действительно существует. Докажем это.

Используя интегрирование по частям, мы имеем:

[math]\displaystyle{ \int_a^b \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_a^b \frac{d(1-\cos(x))}{x}dx = \left. \frac{1-\cos(x)}{x}\right|_a^b + \int_a^b \frac{1-\cos(x)}{x^2}dx }[/math]

Теперь, так как [math]\displaystyle{ a \to 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b \to \infty }[/math], член слева сходится без проблем. Смотри cписок пределов тригонометрических функций. Теперь покажем, что [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx }[/math] интегрируем, что означает, что предел существует.

Сначала мы стремимся оценить интеграл вблизи начала координат. Используя разложение косинуса около нуля в ряд Тейлора,

[math]\displaystyle{ 1 - \cos(x) = 1 - \sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2k!} = -\sum_{k\geq 1}\frac{x^{2k}}{2k!}. }[/math]

Следовательно,

[math]\displaystyle{ \left|\frac{1 - \cos(x)}{x^2}\right| = \left|-\sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2(k+1)!}\right| \leq \sum_{k\geq 0} \frac{|x|^k}{k!} = e^{|x|}. }[/math]

Разбив интеграл на части, получим

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right|dx \leq \int_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{2}{x^2}dx + \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{|x|}dx + \int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{2}{x^2}dx \leq K, }[/math]

для некоторой константы [math]\displaystyle{ K \gt 0 }[/math]. Это показывает, что интеграл абсолютно интегрируем, что означает, что исходный интеграл существует, и переход от [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] к [math]\displaystyle{ n }[/math] был фактически оправдан, и доказательство завершено.

См. также

• Распределение Дирихле
• Принцип Дирихле
• Sinc
• Интегралы Френеля