Теорема Сохоцкого — Племеля

Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int_C\frac{\varphi(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}, }[/math]

определяет две аналитические функции от z, φ_i внутри C и φ_e снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] интеграла:

[math]\displaystyle{ \phi_i(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathcal{P}\int_C\frac{\varphi(\zeta) d\zeta}{\zeta-z}+\frac{1}{2}\varphi(z), }[/math]

[math]\displaystyle{ \phi_e(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathcal{P}\int_C\frac{\varphi(\zeta) d\zeta}{\zeta-z}-\frac{1}{2}\varphi(z). }[/math]

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.

Версия для вещественной прямой

Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b. Тогда

[math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой

Простое доказательство состоит в следующем.

[math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx. }[/math]

Для первого слагаемого, отметим, что [math]\displaystyle{ \tfrac{\varepsilon}{\pi (x^2 + \varepsilon^2)} }[/math] — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно [math]\displaystyle{ \mp i \pi f(0) }[/math].

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор [math]\displaystyle{ \tfrac{x^2}{x^2 + \varepsilon^2} }[/math] стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике

В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы вида

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty dE\, \int_0^\infty dt\, f(E)\exp(-iEt), }[/math]

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

[math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty dE\, \int_0^\infty dt\, f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t) }[/math]

[math]\displaystyle{ = -i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(E)}{E-i\varepsilon}\,dE = \pi f(0)-i \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(E)}{E}\,dE, }[/math]

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.

См. также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых
• Соотношения Крамерса — Кронига
• Преобразования Гильберта

Литература

• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-55001-7. Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. Quantum Mechanics (неопр.). — Wiley, John & Sons, Inc., 1998. — ISBN 0-471-88702-1. Appendix A, equation (A.19).
• Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 (англ.). — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
• Plemelj, Josip. Problems in the sense of Riemann and Klein (англ.). — New York: Interscience Publishers, 1964.
• Gakhov, F. D. (1990), Boundary value problems. Reprint of the 1966 translation, Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6 
• Muskhelishvili, N. I. Singular integral equations, boundary problems of function theory and their application to mathematical physics (англ.). — Melbourne: Dept. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories, 1949.
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
• Sokhotskii, Y. W. On definite integrals and functions used in series expansions (англ.). — St. Petersburg, 1873.