Схема с разностями против потока

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

[math]\displaystyle{ \qquad \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 }[/math]

Оно описывает распространение волны в направлении [math]\displaystyle{ x }[/math] со скоростью [math]\displaystyle{ a }[/math]. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки [math]\displaystyle{ i }[/math], в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если [math]\displaystyle{ a }[/math] положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если [math]\displaystyle{ a }[/math] отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной [math]\displaystyle{ \partial u / \partial x }[/math] содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока.

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:

[math]\displaystyle{ \quad (1) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad (2) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a \lt 0 }[/math]

Компактная форма

Определяя

[math]\displaystyle{ \qquad \qquad a^+ = \text{max}(a,0)\,, \qquad a^- = \text{min}(a,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad \qquad u_x^- = \frac{u_i^{n} - u_{i-1}^{n}}{\Delta x}\,, \qquad u_x^+ = \frac{u_{i+1}^{n} - u_{i}^{n}}{\Delta x} }[/math],

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

[math]\displaystyle{ \quad (3) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n - \Delta t \left[ a^+ u_x^- + a^- u_x^+ \right] }[/math]

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.