Теорема Харкорта

Теорема Харкорта

Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружности.

Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессора.

Утверждение

Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

[math]\displaystyle{ a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K. }[/math]

Вырожденный случай

Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.

Обобщение

• Если прямая касается вневписанной окружности противоположной, скажем, вершине A треугольника, то

[math]\displaystyle{ -a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K. }[/math]

• Если на касательную к кругу радиуса x, концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры [math]\displaystyle{ d_A, d_B, d_C }[/math], то .

[math]\displaystyle{ a d_A + b d_B + c d_C\ = 2px }[/math].

• В частности, если x=r, где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта.

Свойство двойственности

Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство

[math]\displaystyle{ a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K }[/math]

остаётся верным.

Литература

• Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Harcourt's theorem // Forum Geometricorum. — 2003. — Т. 3.
• F. G.-M. Exercises de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues (неопр.). — edition=5th. — Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Paris), 1912. — (Cours de mathématiques elementaires).
• William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — (Forgotten Books (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).