Экспоненциальное распределение

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	[math]\displaystyle{ \mathrm{Exp}(\lambda), \mathcal{E} (\lambda) }[/math]
Параметры	[math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math] — интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель	[math]\displaystyle{ x \in [0;\infty) }[/math]
Плотность вероятности	[math]\displaystyle{ \lambda e^{-\lambda x} }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ 1 - e^{-\lambda x} }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ \lambda^{-1} }[/math]
Медиана	[math]\displaystyle{ \ln(2)/\lambda }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ \lambda^{-2} }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
Дифференциальная энтропия	[math]\displaystyle{ 1 - \ln(\lambda) }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1} }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1} }[/math]

Экспоненциа́льное (или показа́тельное) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет экспоненциальное распределение с параметром [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math], если её плотность вероятности имеет вид:

[math]\displaystyle{ f_X(x) = \begin{cases} \lambda \,e^{-\lambda x} ,& x \ge 0, \\ 0 ,& x \lt 0. \end{cases} }[/math].

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно [math]\displaystyle{ 1/\lambda }[/math]. Сам параметр [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] задана первым уравнением, и будем писать: [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{Exp}(\lambda) }[/math].

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

[math]\displaystyle{ F_X(x) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x \lt 0. \end{matrix}\right. }[/math]

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

[math]\displaystyle{ \mathrm{M}_X(t) = \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1} }[/math],

откуда получаем все моменты:

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n} }[/math].

В частности,

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{2}{\lambda^2} }[/math],

[math]\displaystyle{ \operatorname{D} [X] = \frac{1}{\lambda^2} }[/math].

Независимость событий

Пусть [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{Exp}(\lambda) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X \gt s+t \mid X \geqslant s) = \mathbb{P}(X \gt t) }[/math].

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X.
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть [math]\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n }[/math] независимые случайные величины, и [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i) }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right). }[/math]

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma( 1,1/ \lambda). }[/math]

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть [math]\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n }[/math] независимые случайные величины, и [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda) }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, 1/\lambda). }[/math]

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть [math]\displaystyle{ U \sim U[0,1] }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ X = - \frac{1}{\lambda} \ln U \sim \mathrm{Exp}(\lambda). }[/math]

• Экспоненциальное распределение с параметром [math]\displaystyle{ \lambda=1/2 }[/math] — это частный случай распределения хи-квадрат:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Exp}(1/2) \equiv \chi^2(2). }[/math]

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
• Пусть [math]\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n }[/math] независимые случайные величины, и [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda) }[/math]и [math]\displaystyle{ Y=\max{X_1,...,X_n}, Z=X_1+\frac{X_2}{2}+...+\frac{X_n}{n} }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ P(Y\lt t)=(1-\exp(-\lambda t))^n, P(Z\lt t)=(1-\exp(-\lambda t))^n. }[/math]

Литература

• Королюк В. С., Портенко Н. И.,Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.