Полукруговой закон Вигнера

Полукруговое распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	[math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math] радиус (вещественное положительное число)
Носитель	[math]\displaystyle{ x \in [-R;+R] }[/math]
Плотность вероятности	[math]\displaystyle{ \frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-x^2} }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ \frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi} }[/math] для [math]\displaystyle{ -R\leq x \leq R }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Медиана	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ \frac{R^2}{4} }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]
Дифференциальная энтропия	[math]\displaystyle{ \ln (\pi R) - \frac12 }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ 2\,\frac{I_1(R\,t)}{R\,t} }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ 2\,\frac{J_1(R\,t)}{R\,t} }[/math]

Полукруговой закон (или распределение) Вигнера — названное в честь физика Юджина Вигнера абсолютно непрерывное распределение вероятностей на прямой, график плотности которого получается после нормировки из полукруга, построенном на отрезке [-R,R] как на диаметре (тем самым, на самом деле график плотности оказывается полуэллипсом):

[math]\displaystyle{ \rho(x)= \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2-x^2}, }[/math]

если [math]\displaystyle{ x\in [-R,R] }[/math], и [math]\displaystyle{ \rho(x)=0 }[/math] иначе.

Это распределение было предложено Вигнером в 1955 году в связи с его исследованиями в области квантовой механики, как предельное распределение собственных значений для случайной эрмитовой матрицы большого размера.

Литература

• Weisstein, Eric W. Wigner's Semicircle Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner Е. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Ann. of Math., 62 (1955), 548-564.
• Wigner E. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices. Ann. of Math., 67 (1958), 325-328.
• Я. Г. Синай, А. Б. Сошников, «Уточнение полукругового закона Вигнера в окрестности края спектра для случайных симметричных матриц», Функц. анализ и его прил., 32:2 (1998), 56-79