Гиперэкспоненциальное распределение

В теории вероятностей, гиперэкспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, при котором плотность вероятности случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] выражается как

[math]\displaystyle{ f_X(x) = \sum_{i=1}^n f_{Y_i}(y) p_i, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Y_i }[/math] — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром [math]\displaystyle{ \lambda\,_i }[/math], и [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — вероятность того, что X будет иметь экспоненциальное распределение с параметром [math]\displaystyle{ \lambda\,_i }[/math]. Оно названо гиперэкспоненциальным распределением, так как его коэффициент вариации больше коэффициента вариации экспоненциального распределения (1) и гипоэкспоненциального распределения, у которого коэффициент вариации меньше коэффициента вариации экспоненциального распределения. Хотя экспоненциальное распределение — непрерывный аналог геометрического распределения, гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения. Гиперэкспоненциальное распределение — пример распределения со смешанной плотностью.

Пример случайной величины, распределённой по гиперэкспоненциальному закону, можно найти в телефонии: при наличии модема и телефона использование телефонной линии может моделироваться гиперэкспоненциальным распределением с заданной вероятностью разговора по телефону p с битрейтом [math]\displaystyle{ \lambda\,_1 }[/math] и вероятностью соединения по модему q с битрейтом [math]\displaystyle{ \lambda\,_2. }[/math]

Свойства гиперэкспоненциального распределения

Поскольку математическое ожидание суммы есть сумма математических ожиданий, математическое ожидание гиперэкспоненциально распределённой случайной величины

[math]\displaystyle{ E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx= p_1\int_0^\infty x\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} dx+ p_2\int_0^\infty x\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty x\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx} dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{\lambda\,_i} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ E(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) \, dx = p_1\int_0^\infty x^2\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} \, dx + p_2\int_0^\infty x^2\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} \, dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty x^2\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx}\, dx, }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{i=1}^n \frac{2}{\lambda\,_i^2}p_i, }[/math]

Производящая функция моментов

[math]\displaystyle{ E(e^{tx}) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) dx= p_1\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} dx+ p_2\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx} dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{i=1}^n \frac{\lambda\,_i}{\lambda_i - t}p_i. }[/math]