Мультиномиальное распределение

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k }[/math].

Интуитивно событие [math]\displaystyle{ \{X_i = j\} }[/math] означает, что испытание с номером [math]\displaystyle{ i }[/math] привело к исходу [math]\displaystyle{ j }[/math]. Пусть случайная величина [math]\displaystyle{ Y_j }[/math] равна количеству испытаний, приведших к исходу [math]\displaystyle{ j }[/math]:

[math]\displaystyle{ Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k }[/math].

Тогда распределение вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top} }[/math] имеет функцию вероятности

[math]\displaystyle{ p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_j = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_j \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_1 }[/math],

где

[math]\displaystyle{ {n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!} }[/math] — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины [math]\displaystyle{ Y_j }[/math] имеет вид: [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_j] = np_j }[/math]. Диагональные элементы матрицы ковариации [math]\displaystyle{ \Sigma = (\sigma_{ij}) }[/math] являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

[math]\displaystyle{ \sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k }[/math].

Для остальных элементов имеем

[math]\displaystyle{ \sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j }[/math].

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен [math]\displaystyle{ k-1 }[/math].

Литература

• М. де Гроот. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.