Производящая функция моментов
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Определение
Пусть есть случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] с распределением [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^X }[/math]. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right] }[/math].
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx) }[/math],
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] дискретна, то есть [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots }[/math], то
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i }[/math].
Пример. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет распределение Бернулли. Тогда
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q }[/math].
Если случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность [math]\displaystyle{ f_X(x) }[/math], то
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx }[/math].
Пример. Пусть [math]\displaystyle{ X \sim U[0,1] }[/math] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- [math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t} }[/math].
Свойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] суть две случайные величины, и [math]\displaystyle{ M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y }[/math]. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
- [math]\displaystyle{ M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R} }[/math].
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] есть независимые случайные величины. Обозначим [math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t) }[/math].
Вычисление моментов
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0} }[/math].
См. также
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |