Производящая функция моментов

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение

Пусть есть случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] с распределением [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^X }[/math]. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

[math]\displaystyle{ M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right] }[/math].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

[math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx) }[/math],

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] дискретна, то есть [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots }[/math], то

[math]\displaystyle{ M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i }[/math].

Пример. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет распределение Бернулли. Тогда

[math]\displaystyle{ M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q }[/math].

Если случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность [math]\displaystyle{ f_X(x) }[/math], то

[math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx }[/math].

Пример. Пусть [math]\displaystyle{ X \sim U[0,1] }[/math] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

[math]\displaystyle{ M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t} }[/math].

Свойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] суть две случайные величины, и [math]\displaystyle{ M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y }[/math]. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

[math]\displaystyle{ M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R} }[/math].

Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] есть независимые случайные величины. Обозначим [math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t) }[/math].

Вычисление моментов

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0} }[/math].

См. также