Копула

Кумулятивная функция распределения и плотность распределения гауссовой копулы с ρ = 0.4

Ко́пула (лат. copula «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном единичном кубе [math]\displaystyle{ [0,\;1]^n }[/math], такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале [math]\displaystyle{ [0,\;1] }[/math].

Теорема Склара

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения [math]\displaystyle{ H(x,\;y) }[/math] с одномерными маргинальными функциями распределения [math]\displaystyle{ F(x)=H(x,\;\infty) }[/math] и [math]\displaystyle{ G(y)=H(\infty,\;y) }[/math] существует копула, такая что

[math]\displaystyle{ H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)), }[/math]

где мы отождествляем распределение [math]\displaystyle{ C }[/math] с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

[math]\displaystyle{ C(u,\;0)=C(0,\;v)=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v. }[/math]

Границы Фреше—Хёфдинга для копулы

Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

[math]\displaystyle{ W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1). }[/math]

Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

[math]\displaystyle{ M(x,\;y)=\min(x,\;y). }[/math]

Архимедовы копулы

Одна частная простая форма копулы:

[math]\displaystyle{ C(x,\;y)=\Psi^{-1}(\Psi(x)+\Psi(y)), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:

[math]\displaystyle{ \Psi(1)=0;\quad\lim_{x\to 0}\Psi(x)=\infty;\quad\Psi'(x)\lt 0;\quad\Psi''(x)\gt 0. }[/math]

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

[math]\displaystyle{ \Psi(x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy. }[/math]

Копула Клейтона (Clayton):

[math]\displaystyle{ \Psi(x)=x^\theta-1;\quad\theta\leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^\theta+y^\theta-1)^{1/\theta}. }[/math]

Для [math]\displaystyle{ \theta=0 }[/math] в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

[math]\displaystyle{ C_n\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot }[/math] Число пар [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] таких что [math]\displaystyle{ x \leq x_{(i)} \text{ и } y \leq y_{(j)} \, , 1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n }[/math]

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Гауссова копула

Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде:

[math]\displaystyle{ C \left [ G_1(u_1),..., G_n(u_n) \right ] = \Phi_n \left [\Phi ^{-1}(G_1(u_1)),..., \Phi ^{-1}(G_n(u_n)); \rho_\Phi \right ] }[/math],

где:

• [math]\displaystyle{ G_i(u_i) }[/math] — частные распределения;
• [math]\displaystyle{ \Phi_n }[/math] — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей [math]\displaystyle{ \rho_\Phi }[/math] размерностью [math]\displaystyle{ n \times n }[/math];
• [math]\displaystyle{ \Phi ^{-1} }[/math] — обратная функция гауссовского распределения.

Применения

Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

См. также

• Независимость (теория вероятностей)

Литература

• Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113—130.
• Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
• Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25.
• Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
• Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
• Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Примеры генерации копул в Matlab