Взаимодействие Юкавы

В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем [math]\displaystyle{ \phi }[/math] и дираковским полем [math]\displaystyle{ \Psi }[/math]:

[math]\displaystyle{ V \approx g\bar\Psi \phi \Psi }[/math] (скаляр) или [math]\displaystyle{ g \bar \Psi i\gamma^5 \phi \Psi }[/math] (псевдоскаляр).

Взаимодействие Юкавы можно использовать для описания сильных ядерных сил между нуклонами (которые являются фермионами), переносимых пионами (которые являются псевдоскалярными мезонами). Взаимодействие Юкавы также используется в рамках Стандартной модели для описания связи между хиггсовским полем и безмассовыми полями кварков и электронов. Посредством механизма спонтанного нарушения симметрии фермионы обретают массу, пропорциональную среднему ожидаемому значению поля Хиггса.

Действие

Действие для мезонного поля [math]\displaystyle{ \phi }[/math], взаимодействующего c дираковским фермионным полем [math]\displaystyle{ \psi }[/math]:

[math]\displaystyle{ S[\phi,\psi]=\int d^dx \;\left[ \mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) + \mathcal{L}_\mathrm{Dirac}(\psi) + \mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) \right] }[/math]

где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) = \frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi) }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ V(\phi) }[/math] — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен [math]\displaystyle{ V(\phi)=\frac{1}{2}\mu^2\phi^2 }[/math] где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен [math]\displaystyle{ V(\phi)=\frac{1}{2}\mu^2\phi^2 + \lambda\phi^4 }[/math] где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.

Свободный лагранжиан Дирака равен

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{Dirac}(\psi) = \bar{\psi}(i\partial\!\!\!/-m)\psi }[/math]

где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) = -g\bar\psi \phi \psi }[/math]

где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) = -g\bar\psi i\gamma^5 \phi \psi }[/math]

для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как

[math]\displaystyle{ S[\phi,\psi]=\int d^dx \left[\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi) + \bar{\psi}(i\partial\!\!\!/-m)\psi -g \bar{\psi}\phi\psi \right] }[/math]

Классический потенциал

Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:

[math]\displaystyle{ V(r) = -\frac{g^2}{4\pi} \frac{1}{r} e^{-\mu r} }[/math]

— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.

Спонтанное нарушение симметрии

Пусть потенциал [math]\displaystyle{ V(\phi) }[/math] имеет минимум не при [math]\displaystyle{ \phi=0 }[/math], а при каком-то ненулевом значении [math]\displaystyle{ \phi_0 }[/math]. Это возможно, если написать (например) [math]\displaystyle{ V(\phi)=\mu^2\phi^2 + \lambda\phi^4 }[/math] и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.

Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле [math]\displaystyle{ \tilde \phi = \phi-\phi_0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi_0 }[/math] понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член

[math]\displaystyle{ g\phi_0 \bar\psi\psi }[/math]

и поскольку g и [math]\displaystyle{ \phi_0 }[/math] — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой [math]\displaystyle{ g\phi_0 }[/math]. Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле [math]\displaystyle{ \tilde\phi }[/math] известно как Поле Хиггса.

Форма Майорана

Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим

[math]\displaystyle{ S[\phi,\chi]=\int d^dx \left[\frac{1}{2}\partial^\mu\phi \partial_\mu \phi -V(\phi)+\chi^\dagger i\bar{\sigma}\cdot\partial\chi+\frac{i}{2}(m+g \phi)\chi^T \sigma^2 \chi-\frac{i}{2}(m+g \phi)^* \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*\right] }[/math]

где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.

Правила Фейнмана

Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.

См. также

Стандартная модель

Ссылки

Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory, (1980) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-032071-3
James D. Bjorken and Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (1964) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-232002-8
Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-50397-2