Шар

Шар

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] и объём [math]\displaystyle{ V }[/math] шара радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] (и диаметром [math]\displaystyle{ d = 2r }[/math]) определяются формулами:

• [math]\displaystyle{ S = \ 4\pi r^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ S = \ \pi d^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ V = \frac{4}{3} \pi r^3 }[/math]

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке [math]\displaystyle{ \left ( 0; 0\right ) }[/math]. Уравнение окружности этого круга : [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2 }[/math], откуда [math]\displaystyle{ y^2 = R^2-x^2 }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ y=\sqrt{R^2-x^2}, x \in (0;R) }[/math] непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

[math]\displaystyle{ {1 \over 2} V = \pi \int\limits_0^R (R^2-x^2)dx = \pi \cdot \Bigl. \left ( R^2x - \frac {x^3} {3} \right ) \Bigr|_0^R= \pi \cdot ( R^3-\frac {R^3} {3} ) = \frac {2} {3} \pi R^3 }[/math]

Откуда [math]\displaystyle{ V=\frac {4} {3} \pi R^3 }[/math] Ч. т. д.

• [math]\displaystyle{ V = \frac{\pi d^3}{6} }[/math]

Доказательство

[math]\displaystyle{ d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6} }[/math] Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math]. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math] называется множество

[math]\displaystyle{ B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \lt r\}. }[/math]

• Замкнутым шаром с центром в [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math] называется множество

[math]\displaystyle{ D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}. }[/math]

Замечания

Шар радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] с центром [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] также называют [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестностью точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой [math]\displaystyle{ \rho }[/math].
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой [math]\displaystyle{ \rho }[/math].
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке [math]\displaystyle{ X }[/math] являют собой её базу.
• Очевидно, [math]\displaystyle{ B_r(x_0) \subset D_r(x_0) }[/math]. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: [math]\displaystyle{ \overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0). }[/math]
  • Например: пусть [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — дискретное метрическое пространство, и [math]\displaystyle{ X }[/math] состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] имеем:

[math]\displaystyle{ B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X. }[/math]

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:

[math]\displaystyle{ V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n, }[/math]

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

[math]\displaystyle{ V_{2k}(R) = \frac{\pi^k}{k!}R^{2k} }[/math],

[math]\displaystyle{ V_{2k+1}(R) = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1} }[/math].

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

[math]\displaystyle{ V_n(R) = \frac{2^{ \left[ \frac{n+1}{2} \right] } \pi^{\left[ \frac{n}{2} \right]}}{n!!}R^n }[/math].

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

[math]\displaystyle{ R_n(V) = \frac{\Gamma(n/2 + 1)^{1/n}}{\sqrt{\pi}}V^{1/n} }[/math].

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

[math]\displaystyle{ R_{2k}(V) = \frac{(k!V)^{1/2k}}{\sqrt{\pi}} }[/math],

[math]\displaystyle{ R_{2k+1}(V) = \left(\frac{(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi^k}\right)^{1/(2k+1)} }[/math].

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности [math]\displaystyle{ n-2 }[/math] (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

[math]\displaystyle{ V_n(R) = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}(R) }[/math].

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

[math]\displaystyle{ V_n(R) = R\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} V_{n-1}(R) }[/math].

То же без гамма-функции:

[math]\displaystyle{ \begin{align} V_{2k}(R) &= R\pi \frac{(2k - 1)!!}{2^k k!} V_{2k-1}(R) = R\pi \frac{(2k-1)(2k-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{(2k)(2k - 2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2} V_{2k-1}(R), \\ V_{2k+1}(R) &= 2R\frac{2^k k!}{(2k+1)!!} V_{2k}(R) = 2R\frac{(2k)(2k - 2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2}{(2k+1)(2k-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} V_{2k}(R). \end{align} }[/math]

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	[math]\displaystyle{ 2R }[/math]	[math]\displaystyle{ V/2 }[/math]
2	[math]\displaystyle{ \pi R^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{V^{1/2}}{\sqrt{\pi}} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ \frac{4\pi}{3} R^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{2} R^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(2V)^{1/4}}{\sqrt{\pi}} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ \frac{8\pi^2}{15} R^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left(\frac{15V}{8\pi^2}\right)^{1/5} }[/math]
6	[math]\displaystyle{ \frac{\pi^3}{6} R^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(6V)^{1/6}}{\sqrt{\pi}} }[/math]
7	[math]\displaystyle{ \frac{16\pi^3}{105} R^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left(\frac{105V}{16\pi^3}\right)^{1/7} }[/math]
8	[math]\displaystyle{ \frac{\pi^4}{24} R^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(24V)^{1/8}}{\sqrt{\pi}} }[/math]
9	[math]\displaystyle{ \frac{32\pi^4}{945} R^9 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left(\frac{945V}{32\pi^4}\right)^{1/9} }[/math]
10	[math]\displaystyle{ \frac{\pi^5}{120} R^{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(120V)^{1/10}}{\sqrt{\pi}} }[/math]

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры

• Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^d }[/math] — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

• если [math]\displaystyle{ d=1 }[/math] (пространство — прямая), то

[math]\displaystyle{ B_r(x_0) = \{x\in \mathbb R \mid |x - x_0| \lt r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right), }[/math]

[math]\displaystyle{ D_r(x_0) = \{x\in \mathbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right]. }[/math]

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если [math]\displaystyle{ d=2 }[/math] (пространство — плоскость), то

  [math]\displaystyle{ B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \lt r \right\}, }[/math]

  [math]\displaystyle{ D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\} }[/math]

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если [math]\displaystyle{ d=3 }[/math], то

  [math]\displaystyle{ B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \lt r \right\}, }[/math]

  [math]\displaystyle{ D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\} }[/math]

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^d }[/math] метрику следующим образом:

  [math]\displaystyle{ \rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d. }[/math]

Тогда

• если [math]\displaystyle{ d=2 }[/math], то [math]\displaystyle{ U_r(x_0) }[/math] — это открытый квадрат с центром в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и сторонами длины [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math], расположенными по диагонали к координатным осям.
• если [math]\displaystyle{ d=3 }[/math], то [math]\displaystyle{ U_r(x_0) }[/math] — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

• Вычисление объема и площади шара (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано 8 августа 2011 года.
• Онлайн-калькуляторы (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано 9 января 2019 года.
• Математические этюды (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара