Эпсилон-окрестность

[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

Определения

• Пусть [math]\displaystyle{ (X,\varrho) }[/math] есть метрическое пространство, [math]\displaystyle{ x_0 \in X, }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0. }[/math] [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется множество

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) \lt \varepsilon \}. }[/math]

• Проколотой [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется её [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестность без неё самой:

[math]\displaystyle{ \dot{U}_{\varepsilon}(x_0) = U_{\varepsilon}(x_0) \backslash x_0 }[/math]

• Пусть дано подмножество [math]\displaystyle{ A \subset X. }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью этого множества называется множество

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x). }[/math]

Замечания

• [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] таким образом называется открытый шар с центром в [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ \varepsilon. }[/math]
• Прямо из определения следует, что

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) \lt \varepsilon\}. }[/math]

• [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] со стандартной метрикой [math]\displaystyle{ \varrho(x,y) = |x-y|,\; x,y \in \mathbb{R}. }[/math] Тогда

• [math]\displaystyle{ U_2(1) = (-1,3); }[/math]
• [math]\displaystyle{ U_1([5,7]) = (4,8). }[/math]