Электромагнитный потенциал

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего [math]\displaystyle{ A_i }[/math] или [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math], что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты [math]\displaystyle{ A_0,A_1,A_2,A_3 }[/math] или [math]\displaystyle{ \varphi_0,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 }[/math], причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал [math]\displaystyle{ (A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3) }[/math] распадается на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал [math]\displaystyle{ \varphi \equiv A_0 }[/math] и трехмерный векторный потенциал [math]\displaystyle{ \vec A \equiv (A_x,A_y,A_z) \equiv (-A_1,-A_2,-A_3) }[/math]; эти потенциалы [math]\displaystyle{ \varphi\ }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec A }[/math] и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция) — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях:

[math]\displaystyle{ \vec E = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec B = \nabla \times \vec A, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec E }[/math] — напряжённость электрического поля, [math]\displaystyle{ \vec B }[/math] — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — оператор набла, причём [math]\displaystyle{ \nabla\varphi \equiv \mathrm{grad}\, \varphi }[/math] — градиент скалярного потенциала, а [math]\displaystyle{ \nabla\times\vec A \equiv \mathrm{rot}\, \vec A }[/math] — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

[math]\displaystyle{ F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_{\mu \nu} }[/math] — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты [math]\displaystyle{ E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z }[/math].

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты [math]\displaystyle{ A_0,A_1,A_2,A_3 }[/math] преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] волновой функции частицы:

[math]\displaystyle{ \Delta \varphi = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i dx^i = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i u^i d\tau }[/math],

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя [math]\displaystyle{ 1/\hbar }[/math], а в системе единиц, где [math]\displaystyle{ \hbar= 1 }[/math] — просто совпадает с ней). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова-Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал