Теорема Жордана
Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.
Формулировка
Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] разбивает плоскость [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math] на две связные компоненты и является их общей границей. [1]
Замечания
Из двух связных компонент одна [math]\displaystyle{ B }[/math] (внутренность [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) — ограниченная; характеризуется тем, что степень [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] относительно любой точки в [math]\displaystyle{ B }[/math] равна [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math]; другая [math]\displaystyle{ S }[/math] (внешность [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) — неограниченная, и степень [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] относительно любой точки в [math]\displaystyle{ S }[/math] равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску. [1]
История
Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.
Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году.[2] Однако Томас Хейлс[англ.] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.[3]
О доказательствах
Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.
- Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт[англ.][4].
- Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем. [5]
Вариации и обобщения
- Теорема Жордана обобщается по размерности:
- Любое [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерное подмногообразие в [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math], гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.
- При [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[1]
- Более того, любое компактное связное [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерное подмногообразие в [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.
- Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
- В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
- Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.
См. также
- Жорданова кривая
- Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
- ↑ См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
- ↑ Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
- ↑ А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176. Архивировано 24 декабря 2013 года.
- ↑ P. H. Doyle. “Plane separation”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.
Литература
- Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
- Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
- Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
- Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
- Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
- Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
- Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.
 |