Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math]

существует такое число [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math], что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q, }[/math]

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

[math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geqslant 1 }[/math],

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math], при этом не существует такого [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math], что [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

[math]\displaystyle{ \rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, }[/math]

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если [math]\displaystyle{ \rho\lt 1 }[/math], а если [math]\displaystyle{ \rho\gt 1 }[/math] — расходится.

Замечание 1. Если [math]\displaystyle{ \rho=1 }[/math], то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если [math]\displaystyle{ \rho=1 }[/math], и последовательность [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| }[/math] стремится к своему пределу [math]\displaystyle{ \rho }[/math] сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство

1. Пусть, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ N }[/math], верно неравенство [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q }[/math], где [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math]. Тогда можно записать [math]\displaystyle{ \left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right| \le q }[/math], [math]\displaystyle{ \left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N+1}}}}} \right| \le q }[/math], …, [math]\displaystyle{ \left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| \le q }[/math] , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим [math]\displaystyle{ \left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right|\times\left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N + 1}}}}} \right|\times...\times\left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| = \left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}} \right| \le {q^n} }[/math], откуда [math]\displaystyle{ \left| {{a_{N + n}}} \right| \le |{a_N}|{q^n} }[/math]. Это означает, что ряд [math]\displaystyle{ \left| {{a_{N + 1}}} \right| + \left| {{a_{N + 2}}} \right| + \left| {{a_{N + 3}}} \right| + ... }[/math] меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые [math]\displaystyle{ N-1 }[/math] членов (последовательности [math]\displaystyle{ \{ a\} }[/math]) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
2. Пусть [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1 }[/math] (начиная с некоторого N): тогда можно записать [math]\displaystyle{ \left| {{a_{n + 1}}} \right| \ge \left| {{a_n}} \right| }[/math]. Это означает, что модуль членов последовательности [math]\displaystyle{ \{ a\} }[/math] не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность [math]\displaystyle{ \{ a\} }[/math] не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
3. Пусть [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math], начиная с некоторого [math]\displaystyle{ n=N }[/math]. При этом не существует такого [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math], что [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ N }[/math]. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} }[/math] верно [math]\displaystyle{ \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} \lt 1 }[/math] для любого натурального [math]\displaystyle{ n }[/math]. В то же время, поскольку [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = 1 }[/math], это означает, что для любого [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math] можно подобрать такое число [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], что [math]\displaystyle{ 1 - \varepsilon \gt q }[/math] , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности [math]\displaystyle{ \{ b\} }[/math], где [math]\displaystyle{ {b_n} = \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| }[/math], будут находиться на интервале [math]\displaystyle{ (1 - \varepsilon ;1) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ {b_n} \gt q }[/math]. А это и означает, что не существует такого [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math], что [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры

• Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n!} }[/math] абсолютно сходится для всех комплексных [math]\displaystyle{ z }[/math], так как [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0. }[/math]

• Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!\;z^n }[/math] расходится при всех [math]\displaystyle{ z\neq0 }[/math], так как [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty. }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ \rho=1 }[/math], то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{2 n} }[/math]

Ссылки

• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, с. 171–183, <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192> .
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Bertrand criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Gauss criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kummer criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Watson, G. N. & Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2