Проективная группа

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — векторное пространство над полем [math]\displaystyle{ F }[/math] (или, более обще, над телом [math]\displaystyle{ K }[/math]), а [math]\displaystyle{ GL(V) }[/math] — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями [math]\displaystyle{ Z(V) }[/math] пространства [math]\displaystyle{ V }[/math] (умножениями на ненулевые константы поля [math]\displaystyle{ F }[/math]), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb P(V)=V/Z(V) }[/math] (факторпространство по действию группы [math]\displaystyle{ Z(V) }[/math]).

Некоторые из них индуцированных преобразований действуют на [math]\displaystyle{ \mathbb P(V) }[/math] тривиально — это в точности элементы группы гомотетий [math]\displaystyle{ Z(V) \cong F^* }[/math] пространства [math]\displaystyle{ V }[/math]. Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

[math]\displaystyle{ PGL(V) = GL(V) / Z(V) }[/math].

Если в пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм [math]\displaystyle{ V \cong F^n }[/math] для натурального [math]\displaystyle{ n }[/math], получится

[math]\displaystyle{ PGL_n(F) = GL_n(F) / F^* }[/math],

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения

Если вместо полной линейной группы [math]\displaystyle{ \mathbb GL(V) }[/math] взять специальную линейную группу [math]\displaystyle{ \mathbb SL(V) }[/math], то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа [math]\displaystyle{ PSL(V) }[/math], также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ F_q }[/math] — конечное поле из [math]\displaystyle{ q }[/math] элементов, то порядок группы равен [math]\displaystyle{ |PSL_n(F_q)|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots(q^2-1) }[/math].
• При [math]\displaystyle{ n \ge 2 }[/math] группа [math]\displaystyle{ PSL_n(F) }[/math] проста, за исключением случаев [math]\displaystyle{ PSL_2(F_2) }[/math] и [math]\displaystyle{ PSL_2(F_3) }[/math].