Единичный круг
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Определение
Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством
- [math]\displaystyle{ |z|\lt 1 }[/math] или (что то же самое), [math]\displaystyle{ z\bar z \lt 1 }[/math].
В действительных координатах [math]\displaystyle{ x + iy= z }[/math] неравенство выглядит как:
- [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \lt 1 }[/math].
Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.
Единичный круг обычно обозначается как [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] или [math]\displaystyle{ D }[/math].
Автоморфизмы единичного круга
С точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:
- [math]\displaystyle{ f(z) = e^{i\varphi} \frac{z+b}{1+{\bar b}z},\ |b|\lt 1 }[/math]
Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ([math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) — поворотами.
С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.
Модель Пуанкаре
Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:
- [math]\displaystyle{ ds^2 = 4 \frac{dz\,d{\bar z}}{(1-|z|^2)^2} = 4 \frac{dx^2+dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}. }[/math]
Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.
Круг или полуплоскость?
С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.
Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).
Другие значения
В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |