Плотность тока

Плотность тока
[math]\displaystyle{ \vec j }[/math]
Размерность	L−2I
Единицы измерения
СИ	А/м2
Примечания
векторная величина

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м²/c или, что то же самое, А/м².

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд [math]\displaystyle{ q }[/math], плотность тока вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ \vec{j} = n\,q\,\vec{v} }[/math],

где [math]\displaystyle{ n }[/math] (м^-3) — концентрация носителей, а [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math] — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

[math]\displaystyle{ j = |\vec j| = \frac{I}{S} }[/math],

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина [math]\displaystyle{ j }[/math] в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] и имеют одинаковые заряды [math]\displaystyle{ q }[/math] (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их [math]\displaystyle{ n }[/math],

[math]\displaystyle{ \vec j = n\,q\,\vec v = \rho_q \vec v, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho_q }[/math] — плотность заряда этих носителей. Направление вектора [math]\displaystyle{ \vec j }[/math] соответствует направлению вектора скорости [math]\displaystyle{ \vec v }[/math], с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

[math]\displaystyle{ \vec j = \sum_s n_s q_s \vec v_s }[/math],

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где [math]\displaystyle{ n_s }[/math] — концентрация частиц, [math]\displaystyle{ q_s }[/math] — заряд частицы, [math]\displaystyle{ \vec v_s }[/math] — вектор средней скорости частиц [math]\displaystyle{ s }[/math]-го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма [math]\displaystyle{ V }[/math], содержащего рассматриваемую точку:

[math]\displaystyle{ \vec j = \frac{1}{V}\sum_i q_i \vec v_i }[/math].

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока

Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

[math]\displaystyle{ I = \left|\int\limits_S (\vec j\cdot d\vec{S})\right| = \left|\int\limits_S j_n\, dS\right| }[/math],

где [math]\displaystyle{ j_n }[/math] — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью [math]\displaystyle{ dS }[/math]; вектор [math]\displaystyle{ d\vec{S} }[/math] — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет [math]\displaystyle{ j = I/S }[/math].

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

[math]\displaystyle{ \nabla\times\vec{H}= \vec{j}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} }[/math],

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции [math]\displaystyle{ \vec{D} }[/math]; значок [math]\displaystyle{ \partial }[/math] обозначает частную производную (по времени [math]\displaystyle{ t }[/math]). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec{j} + {\partial \rho_q \over \partial t} = 0 }[/math].

Закон Ома в дифференциальной форме

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

[math]\displaystyle{ \vec j = \sigma\vec E }[/math],

где [math]\displaystyle{ \sigma\ }[/math] — удельная проводимость среды, [math]\displaystyle{ \vec E }[/math] — напряжённость электрического поля. Или:

[math]\displaystyle{ \vec j = \frac{1}{\rho}\,\vec E }[/math],

где [math]\displaystyle{ \rho\ }[/math] — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

[math]\displaystyle{ w = \vec E \cdot \vec j }[/math],

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

[math]\displaystyle{ w = \sigma E^2 = \frac{j^2}{\sigma} \equiv \rho j^2 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — скаляры. Для анизотропного случая будет

[math]\displaystyle{ w = \vec E \sigma \vec E = \vec j \rho \vec j }[/math],

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и тензор [math]\displaystyle{ \rho }[/math] порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

Основная статья: 4-ток

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда [math]\displaystyle{ \rho_q }[/math] и 3-вектора плотности тока [math]\displaystyle{ \vec{j}: }[/math]

[math]\displaystyle{ J^{\mu}=(c\rho_q, \vec{j}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.