Уравнение пятой степени
Уравнением пятой степени называют уравнение вида: [math]\displaystyle{ ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 }[/math]
Теорема Виета для уравнения пятой степени
Корни уравнения пятой степени [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5 }[/math] связаны с коэффициентами [math]\displaystyle{ a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f }[/math] следующим образом:
- [math]\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -\frac{b}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_1\,x_5 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_2\,x_5 + x_3\,x_4 + x_3\,x_5 + x_4\,x_5 = \frac{c}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4+x_1\,x_2\,x_5 + x_1\,x_3\,x_4 + x_1\,x_3\,x_5 + x_1\,x_4\,x_5 + x_2\,x_3\,x_4+ x_2\,x_3\,x_5+ x_2\,x_4\,x_5+ x_3\,x_4\,x_5 = -\frac{d}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2\,x_3\,x_4 + x_1\,x_2\,x_3\,x_5 + x_1\,x_2\,x_4\,x_5 + x_1\,x_3\,x_4\,x_5 + x_2\,x_3\,x_4\,x_5 = \frac{e}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5 = -\frac{f}{a}. }[/math]
Решение
Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует. Если [math]\displaystyle{ a=1, f=0 }[/math], то уравнение имеет вид:
[math]\displaystyle{ x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ x }[/math] выносим за скобки (см. Сводное уравнение)
[math]\displaystyle{ x(x^4+bx^3+cx^2+dx+e)=0 }[/math], где один из корней равен нулю.
В скобках уравнение четвертой степени.
Если [math]\displaystyle{ b=d=0 }[/math], уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле
[math]\displaystyle{ \pm\sqrt{-c\pm\frac{\sqrt{c^2-4e}}{2}} }[/math].
Если [math]\displaystyle{ b=e=0 }[/math], уравнение в скобках имеет вид
[math]\displaystyle{ x^4+cx^2+dx=0 }[/math], где выносим за скобки:
[math]\displaystyle{ x(x^3+cx+d)=0 }[/math], где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.
Пример
Решите уравнение
[math]\displaystyle{ x^5+5x=0 }[/math].
Решение. Выносим [math]\displaystyle{ x }[/math] за скобки:
[math]\displaystyle{ x(x^4+5)=0 }[/math].
Раскладываем [math]\displaystyle{ x^4+5 }[/math] на множители:
[math]\displaystyle{ x(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)=0 }[/math].
Уравнение имеет пять корней:
[math]\displaystyle{ x_{1}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ x_{2}=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i }[/math], [math]\displaystyle{ x_{3}=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i }[/math], [math]\displaystyle{ x_{4}=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i }[/math], [math]\displaystyle{ x_{5}=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i }[/math].
