Конформное отображение

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Определение

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
Две метрики [math]\displaystyle{ g,\tilde g }[/math] на гладком многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция [math]\displaystyle{ \psi:M\to\R }[/math] такая что [math]\displaystyle{ \tilde g=e^{2\cdot\psi} g }[/math]. В этом случае функция [math]\displaystyle{ e^{\psi} }[/math] называется конформным фактором [math]\displaystyle{ \tilde g }[/math].

Свойства

Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
- Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\ge 3 }[/math] можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если [math]\displaystyle{ \tilde g }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
[math]\displaystyle{ \tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tilde W }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] обозначают тензоры Вейля для [math]\displaystyle{ \tilde g }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] соответственно.

Для конформно-эквивалентых метрик [math]\displaystyle{ \tilde g=e^{2\psi}{\cdot} g }[/math]

Связности связаны следующей формулой:
[math]\displaystyle{ \tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi){\cdot}Y+(Y\psi){\cdot}X-g(X,Y){\cdot}\nabla\psi. }[/math]
Кривизны связаны следующей формулой:
[math]\displaystyle{ g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)- }[/math]

[math]\displaystyle{ -Hess_\psi (X,X)-Hess_\psi(Y,Y)-|\nabla\psi|^2+(Y\psi)^2 }[/math]

если [math]\displaystyle{ g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0 }[/math] а [math]\displaystyle{ Hess_\psi }[/math] обозначает Гессиан функции [math]\displaystyle{ \psi }[/math].

В двумерном случае [math]\displaystyle{ |\nabla\psi|^2=(Y\psi)^2 }[/math], поэтому формулу можно записать как

[math]\displaystyle{ e^{2\cdot\psi}\cdot\tilde K= K-\triangle_g\psi }[/math]

где [math]\displaystyle{ \triangle_g }[/math] обозначает лапласиан по отношению к [math]\displaystyle{ g }[/math].

Для ортонормированной пары векторов [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math], секционную кривизну в направленнии [math]\displaystyle{ X\wedge Y }[/math] можно записать в следующем виде:
[math]\displaystyle{ \tilde K_{X,Y}= f^2{\cdot}K_{X,Y} +f{\cdot}[Hess_f (X,X)+Hess_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f=e^{-\psi} }[/math].

При вычислении скалярной кривизны [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде [math]\displaystyle{ \tilde g=u^{\tfrac4{n-2}}{\cdot} g }[/math]. В этом случае:
[math]\displaystyle{ \tilde{Sc}=\left({Sc}-\frac{4(n-1)}{n-2}{\cdot}\Delta u\right)\cdot u^{\frac{n-2}{n+2}} }[/math]

Примеры

Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
Инверсия — конформное отображение второго рода;
Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей^[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. также

Ссылки

Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — doi:10.1007/BF01656573.

[1] Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — doi:10.1007/BF01656573.

[1]