Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.
Предпосылки и основная идея
В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как
- [math]\displaystyle{ f(x) = e^{-x^2}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{\sin x}{x}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = x^x, }[/math]
Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции [math]\displaystyle{ f(x)=e^{-x^{2}} }[/math] станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным[источник не указан 4061 день].
Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math]. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.
Определения
Для любого дифференцируемого поля [math]\displaystyle{ F }[/math] есть подполе
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Con} F =\{f \in F \mid \mathcal{D}f = 0\}, }[/math]
которое называется полем констант [math]\displaystyle{ F }[/math]. Для двух дифференциальных полей [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] поле [math]\displaystyle{ G }[/math] называется логарифмическим расширением [math]\displaystyle{ F }[/math], если [math]\displaystyle{ G }[/math] является простым трансцендентным расширением [math]\displaystyle{ F }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ G = F(t) }[/math] для некоторого трансцендентного [math]\displaystyle{ t }[/math]), так что
- [math]\displaystyle{ \mathcal{D}t = \frac{\mathcal{D}s}{s} }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ s \in F }[/math].
Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе [math]\displaystyle{ t }[/math] как логарифм некоторого [math]\displaystyle{ s }[/math] из [math]\displaystyle{ F }[/math], и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в [math]\displaystyle{ F }[/math], не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений [math]\displaystyle{ F }[/math]. Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле
- [math]\displaystyle{ \mathcal{D}t = t \mathcal{D}s. }[/math]
Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от [math]\displaystyle{ s }[/math] из [math]\displaystyle{ F }[/math]. Наконец, [math]\displaystyle{ G }[/math] называется элементарным дифференциальным расширением [math]\displaystyle{ F }[/math], если имеется конечная цепочка подполей от [math]\displaystyle{ F }[/math] до [math]\displaystyle{ G }[/math], где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.
Примеры
Поле [math]\displaystyle{ \Complex(x) }[/math] рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа [math]\displaystyle{ \Complex }[/math].
Основная теорема
Предположим, что [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] — дифференциальные поля, для которых [math]\displaystyle{ \operatorname{Con} F = \operatorname{Con} G }[/math], и [math]\displaystyle{ G }[/math] является элементарным дифференциальным расширением [math]\displaystyle{ F }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ a \in F }[/math], [math]\displaystyle{ y \in G }[/math] и, кроме того, [math]\displaystyle{ \mathcal{D}y = a }[/math] (то есть, [math]\displaystyle{ G }[/math] содержит первообразную [math]\displaystyle{ a }[/math]). Тогда существуют [math]\displaystyle{ c_1, \dots, c_n \in \operatorname{Con} F }[/math], [math]\displaystyle{ u_1, \dots, u_n, v \in F }[/math] такие, что
- [math]\displaystyle{ a = c_1 \frac{\mathcal{D}u_1}{u_1} + \dots + c_n \frac{\mathcal{D}u_n}{u_n} + \mathcal{D}v. }[/math]
Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.
Ссылки
- Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer