Абелева категория
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.
Определение
Предаддитивная категория является абелевой, если:
- в ней существует нулевой объект,
- существуют все бинарные произведения и копроизведения,
- существуют все ядра и коядра,
- все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.
Это определение эквивалентно[1] следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.
Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.
Примеры
- Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
- Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над [math]\displaystyle{ R }[/math] абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
- Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых [math]\displaystyle{ R }[/math]-модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
- Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на [math]\displaystyle{ X }[/math] абелева.
Аксиомы Гротендика
В статье Sur quelques points d’algèbre homologique[2] Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math].
- AB3) Для любого множества объектов [math]\displaystyle{ (A_i)_{i\in I} }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] существует копроизведение [math]\displaystyle{ \oplus A_i }[/math]. Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math][3].
- AB4) [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
- AB5) [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] удовлетворяет аксиоме AB3) и фильтрованные копределы[англ.] точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки [math]\displaystyle{ (A_i)_{i\in I} }[/math] подобъектов объекта [math]\displaystyle{ A }[/math] и любого [math]\displaystyle{ B }[/math] — подобъекта объекта [math]\displaystyle{ A }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \sum(A_i\cap B)=\sum(A_i) \cap B. }[/math]
Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):
- AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
- AB2) Для любого морфизма [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] канонический морфизм из [math]\displaystyle{ \mathrm{coim} f }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathrm{im} f }[/math] является изоморфизмом. (Здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{coim} f=A/\mathrm{ker} f }[/math]).
Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.
История
Понятие абелевой категории было предложено Буксбаумом[англ.] в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.
Примечания
- ↑ Freyd, 1964.
- ↑ Grothendieck, 1957.
- ↑ Weibel, 1994, pp. 426-428.
Литература
- D. A. Buchsbaum. Exact categories and duality // Transactions of the American Mathematical Society. — 1955. — Т. 80, № 1. — С. 1–34. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. — .
- Peter Freyd. Abelian Categories. — N. Y.: Harper and Row, 1964.
- A. Grothendieck. Sur quelques points d’algèbre homologique // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1957. — Т. 9. — С. 119–221. — ISSN 0040-8735.
- Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. — Cambridge University Press, 1994.