Двойственность (теория категорий)

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории C^op. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории C^op. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

Формальное определение

Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.

Пусть σ — любое слово языка. Двойственное ему слово σ^op образуется следующими правилами:

поменять местами все «образы» на «прообразы» в σ,
обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] заменить на [math]\displaystyle{ f \circ g }[/math].

Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.

Двойственность — это наблюдение, что σ выполняется в некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ^op выполнено в C^op.

Примеры

Морфизм [math]\displaystyle{ f\colon A \to B }[/math] — мономорфизм, когда из [math]\displaystyle{ f \circ g = f \circ h }[/math] следует [math]\displaystyle{ g=h }[/math]. Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из [math]\displaystyle{ g \circ f = h \circ f }[/math] следует [math]\displaystyle{ g=h }[/math]. Для морфизма [math]\displaystyle{ f\colon B \to A }[/math], это значит в точности то, что f — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
Предел и копредел — двойственные понятия.
Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.

Литература

И. М. Виноградов. Двойственная категория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
И. М. Виноградов. Двойственности принцип // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
И. М. Виноградов. S-двойственность // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.