Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math], объекты которой являются также объектами заданной категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] и морфизмы которой являются также морфизмами в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] для категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] задаётся при помощи:

• подкласса объектов [math]\displaystyle{ \mathrm{Ob}(\mathcal S) \subseteq \mathrm{Ob}(\mathcal C) }[/math],
• подкласса морфизмов [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(\mathcal S) \subseteq \mathrm{Hom}(\mathcal C) }[/math]

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого [math]\displaystyle{ X \in \mathrm{Ob}(\mathcal S) }[/math] тождественный морфизм [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_X }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(\mathcal S) }[/math],
• для каждого морфизма [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(\mathcal S) }[/math] его прообраз [math]\displaystyle{ X }[/math] и образ [math]\displaystyle{ Y }[/math] лежат в [math]\displaystyle{ \mathrm{Ob}(\mathcal S) }[/math],
• для каждой пары морфизмов [math]\displaystyle{ f }[/math], [math]\displaystyle{ g }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(\mathcal S) }[/math] их композиция [math]\displaystyle{ f \circ g }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(\mathcal S) }[/math], если она определена в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math].

Из этих условий следует, что [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор [math]\displaystyle{ I \colon \mathcal S \longrightarrow \mathcal C }[/math], называемый функтором вложения.

Подкатегория [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] называется полной подкатегорией [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], если для каждой пары объектов [math]\displaystyle{ X,Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal S) }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y) }[/math].

Подкатегория [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм [math]\displaystyle{ k \colon X \to Y }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], такой что [math]\displaystyle{ Y }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math], также принадлежит [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math]. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] — широкая, если она содержит все объекты [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] — сама [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math].

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.