Ядро (теория категорий)
Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math] — это «наиболее общий» морфизм [math]\displaystyle{ k \colon K \to X }[/math], после которого применение [math]\displaystyle{ f }[/math] даёт нулевой морфизм.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math] — это уравнитель его и нулевого морфизма [math]\displaystyle{ 0 \colon X \to Y }[/math]. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:
Ядро [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math] — это морфизм [math]\displaystyle{ k \colon K \to X }[/math], такой что:
- [math]\displaystyle{ f \circ k }[/math] — нулевой морфизм из [math]\displaystyle{ K }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]:
- для любого морфизма [math]\displaystyle{ k' \colon K' \to X }[/math], такого что [math]\displaystyle{ f \circ k' }[/math] — нулевой, существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ u \colon K' \to K }[/math], такой что [math]\displaystyle{ k \circ u = k' }[/math]:
Примеры
Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math] — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.
Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.
Связь с другими категорными понятиями
Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.
Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.
В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.
Литература
- Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. — 2009. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-4781-3.