Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] множество [math]\displaystyle{ \text{Hom}(A,B) }[/math] имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

[math]\displaystyle{ (g_1 + g_2)\circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f }[/math]

[math]\displaystyle{ g \circ (f_1+ f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2 }[/math]

Предаддитивную категорию иногда называют также [math]\displaystyle{ Ab }[/math]-категорией.

Примеры

• Категория абелевых групп [math]\displaystyle{ \mathbf{Ab} }[/math].
• Категории левых R-модулей [math]\displaystyle{ R\mbox{-}\mathbf{Mod} }[/math] и правых R-модулей [math]\displaystyle{ \mathbf{Mod}\mbox{-}R }[/math].

Аддитивные функторы

Функтор [math]\displaystyle{ T\colon A \to B }[/math] называется аддитивным, если каждое отображение [math]\displaystyle{ T\colon \text{Hom}_A(a_1,a_2) \to \text{Hom}_B(Ta_1,Ta_2) }[/math] является гомоморфизмом абелевых групп.

Если [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math] — категории, причём [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math] предаддитивна, то категория функторов [math]\displaystyle{ Funct(\mathcal C, \mathcal D) }[/math] также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] тоже предаддитивна, то категория [math]\displaystyle{ Add(\mathcal C, \mathcal D) }[/math] аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] предаддитивна, то категория [math]\displaystyle{ Mod(\mathcal C) := Add(\mathcal C, \mathbf{Ab}) }[/math] называется категорией модулей над [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] — предаддитивная категория из одного объекта — кольца [math]\displaystyle{ R }[/math], это приводит к обычному определению (левых) [math]\displaystyle{ R }[/math]-модулей.

[math]\displaystyle{ Ab\mbox{-}\mathbf{Cat} }[/math] — категория всех малых [math]\displaystyle{ Ab }[/math]-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Литература

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.