Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств [math]\displaystyle{ \mathcal{S}et }[/math];
  • категория групп [math]\displaystyle{ \mathcal{G}rp }[/math];
  • категория колец [math]\displaystyle{ \mathcal{R}ing }[/math];
  • категория абелевых групп [math]\displaystyle{ \mathcal{A}b }[/math];
  • категория топологических пространств [math]\displaystyle{ \mathcal{T}op }[/math];
  • категория компактных хаусдорфовых пространств [math]\displaystyle{ \mathcal{C}omp\mathcal{H} }[/math];
  • категория малых категорий [math]\displaystyle{ \mathcal{C}at }[/math];
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств [math]\displaystyle{ f{S}et }[/math];
  • категория конечномерных векторных пространств над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] [math]\displaystyle{ fd-\mathcal{V}ect_K }[/math];
  • категория конечных групп [math]\displaystyle{ f\mathcal{G}rp }[/math];
• Вообще, если [math]\displaystyle{ \mathrm{Mod}_{\mathcal{T}} }[/math] — категория моделей некоторой алгебраической теории [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math], то [math]\displaystyle{ \mathrm{Mod}_{\mathcal{T}} }[/math] полна и кополна, так как она рефлективна в [math]\displaystyle{ \mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et) }[/math]. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• (теорема о пределе с параметром) Если категория [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] полна (кополна), то категория [math]\displaystyle{ \mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C}) }[/math] полна (кополна) для любой категории [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math], причём пределы вычисляются поточечно.
• Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

• C конечно полна,
• C имеет все уравнители и конечные произведения,
• C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
• C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.

Если категория [math]\displaystyle{ C }[/math] полна в малом, то для любой малой категории [math]\displaystyle{ A }[/math] любой функтор [math]\displaystyle{ F\colon A\to C }[/math] имеет правое расширение Кана [math]\displaystyle{ \mathrm{Ran}_K F }[/math] по любому функтору [math]\displaystyle{ K\colon A\to B }[/math], причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1.
• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories (неопр.). — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 0-471-60922-6.