Логнормальное распределение

Логнормальное
μ=0Плотность вероятности
μ=0Функция распределения
Обозначение	[math]\displaystyle{ \ln N(\mu,\sigma^2) }[/math], [math]\displaystyle{ LN(\mu,\sigma^2) }[/math]
Параметры	[math]\displaystyle{ \sigma \gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ -\infty \lt \mu \lt \infty }[/math]
Носитель	[math]\displaystyle{ x \in (0; +\infty) }[/math]
Плотность вероятности	[math]\displaystyle{ \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right. }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ e^{\mu+\sigma^2/2} }[/math]
Медиана	[math]\displaystyle{ e^{\mu} }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ e^{\mu-\sigma^2} }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2} }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ (e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1} }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6 }[/math]
Дифференциальная энтропия	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ \operatorname{E}[X^s] = e^{s\mu + \tfrac{1}{2}s^2\sigma^2}. }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2} }[/math]

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

Пусть распределение случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

[math]\displaystyle{ f_X(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x \gt 0,\; \sigma\gt 0,\; \mu\in \mathbb{R} }[/math]. Тогда говорят, что [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет логнормальное распределение с параметрами [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Пишут: [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ }[/math].

Моменты

Формула для [math]\displaystyle{ k }[/math]-го момента логнормальной случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N}, }[/math]

откуда в частности:

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2} }[/math].

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

[math]\displaystyle{ \alpha_{n} = e^{ (\mu, n) + \frac{1}{2}(n, \Sigma n)} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] — параметры многомерного совместного распределения. [math]\displaystyle{ n }[/math] — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, [math]\displaystyle{ n=(2,0) }[/math] — второй нецентральный момент первой компоненты, [math]\displaystyle{ n=(1,1) }[/math] — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

• Если [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] — независимые логнормальные случайные величины, такие что [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{LogN}(\mu, \sigma_i^2) }[/math], то их произведение также логнормально:

  [math]\displaystyle{ Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right) }[/math].

Связь с другими распределениями

• Если [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ }[/math], то [math]\displaystyle{ Y = \ln(X) \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ }[/math].

И наоборот, если [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ }[/math], то [math]\displaystyle{ X = \exp(Y) \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ }[/math].

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщения

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна.

Приложения

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, размер астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение.

Литература

• Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0 
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
• Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
• Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — doi:10.1080/03610928908830173.
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.