Дифференциал (математика)

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции [math]\displaystyle{ f }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ df }[/math]. Некоторые авторы предпочитают обозначать [math]\displaystyle{ {\rm d}f }[/math] шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ d_{x_0}f }[/math], а иногда [math]\displaystyle{ df_{x_0} }[/math] или [math]\displaystyle{ df[x_0] }[/math], а также [math]\displaystyle{ df }[/math], если значение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] от [math]\displaystyle{ h }[/math] может обозначаться как [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) }[/math], а иногда [math]\displaystyle{ df_{x_0}(h) }[/math] или [math]\displaystyle{ df[x_0](h) }[/math], а также [math]\displaystyle{ df(h) }[/math], если значение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла [math]\displaystyle{ \int f(x)\, dx }[/math]. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал [math]\displaystyle{ dx }[/math] вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0) }[/math]. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и тождественной функции [math]\displaystyle{ x }[/math] верно соотношение:

  [math]\displaystyle{ d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x. }[/math]

Определения

Для функций

Дифференциал функции [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R} }[/math] может быть определён как линейная функция

[math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], а [math]\displaystyle{ h }[/math] — приращение аргумента при переходе от [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] к [math]\displaystyle{ x_0 + h }[/math].

Таким образом [math]\displaystyle{ df }[/math] есть функция двух аргументов [math]\displaystyle{ df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h) }[/math].

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) }[/math], линейно зависящая от [math]\displaystyle{ h }[/math], и для которой верно следующее соотношение

[math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h). }[/math]

Для отображений

Дифференциалом отображения [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R}^n }[/math] называют линейное отображение [math]\displaystyle{ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] такое, что выполняется условие

[math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h). }[/math]

Связанные определения

• Отображение [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] называется дифференцируемым в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R}^n }[/math], если определён дифференциал [math]\displaystyle{ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math].

Свойства

• Матрица линейного оператора [math]\displaystyle{ d_{x_0}f }[/math] равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные [math]\displaystyle{ f }[/math].
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции [math]\displaystyle{ f }[/math] связан с её градиентом [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math] следующим определяющим соотношением

  [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle }[/math]

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально [math]\displaystyle{ dx }[/math] применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше
• Вариация функционала

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»