Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обозначения

Обычно дифференциал [math]\displaystyle{ f }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ df }[/math]. Некоторые авторы предпочитают обозначать [math]\displaystyle{ \operatorname{d}f }[/math] шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ d_xf }[/math], а иногда [math]\displaystyle{ df_x }[/math] или [math]\displaystyle{ df[x] }[/math]. ([math]\displaystyle{ d_xf }[/math] есть линейная функция на касательном пространстве в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].)

Если [math]\displaystyle{ v }[/math] есть касательный вектор в точке [math]\displaystyle{ x }[/math], то значение дифференциала на [math]\displaystyle{ v }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ df(v) }[/math], в этом обозначении [math]\displaystyle{ x }[/math] излишне, но обозначения [math]\displaystyle{ d_xf(v) }[/math], [math]\displaystyle{ df_x(v) }[/math] и [math]\displaystyle{ df[x](v) }[/math] также правомерны.

Используется так же обозначение [math]\displaystyle{ f_* }[/math]; последнее связано с тем, что дифференциал [math]\displaystyle{ f\colon M\to N }[/math] является естественным поднятием [math]\displaystyle{ f }[/math] на касательные расслоения к многообразиям [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math].

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — гладкое многообразие и [math]\displaystyle{ f\colon M\to \R }[/math] гладкая функция. Дифференциал [math]\displaystyle{ f }[/math] представляет собой 1-форму на [math]\displaystyle{ M }[/math], обычно обозначается [math]\displaystyle{ df }[/math] и определяется соотношением

[math]\displaystyle{ df(X)=d_pf(X)=X f, }[/math]

где [math]\displaystyle{ X f }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ f }[/math] по направлению касательного вектора [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ p\in M }[/math].

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие [math]\displaystyle{ F\colon M\to N }[/math] есть отображение между их касательными расслоениями, [math]\displaystyle{ dF\colon TM\to TN }[/math], такое что для любой гладкой функции [math]\displaystyle{ g\colon N\to\R }[/math] имеем

[math]\displaystyle{ [dF(X)]g=X(g\circ F), }[/math]

где [math]\displaystyle{ Xf }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ f }[/math] по направлению [math]\displaystyle{ X }[/math]. (В левой части равенства берётся производная в [math]\displaystyle{ N }[/math] функции [math]\displaystyle{ g }[/math] по [math]\displaystyle{ dF(X) }[/math]; в правой — в [math]\displaystyle{ M }[/math] функции [math]\displaystyle{ g\circ F }[/math] по [math]\displaystyle{ X }[/math]).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] называется критической точкой отображения [math]\displaystyle{ f: M \to N }[/math], если дифференциал [math]\displaystyle{ d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N }[/math] не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций [math]\displaystyle{ \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] — в точности стационарные точки. Для функций [math]\displaystyle{ \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] называется критическим значением [math]\displaystyle{ f }[/math].
  • Точка [math]\displaystyle{ y \in N }[/math] называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение [math]\displaystyle{ F\colon M\to N }[/math] называется субмерсией, если для любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math], дифференциал [math]\displaystyle{ d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N }[/math] сюръективен.
• Гладкое отображение [math]\displaystyle{ F\colon M\to N }[/math] называется гладким погружением, если для любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math], дифференциал [math]\displaystyle{ d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N }[/math] инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  [math]\displaystyle{ d(F\circ G)=dF\circ dG }[/math] или [math]\displaystyle{ d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG }[/math]

Примеры

• Пусть в открытом множестве [math]\displaystyle{ \Omega\subset\R }[/math] задана гладкая функция [math]\displaystyle{ f\colon \Omega\to\R }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ df=f'\,dx }[/math], где [math]\displaystyle{ f' }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ f }[/math], а [math]\displaystyle{ dx }[/math] является постоянной формой, определяемой [math]\displaystyle{ dx(V)=V }[/math].
• Пусть в открытом множестве [math]\displaystyle{ \Omega\subset\R^n }[/math] задана гладкая функция [math]\displaystyle{ f\colon\Omega\to\R }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i }[/math]. Форма [math]\displaystyle{ dx_i }[/math] может быть определена соотношением [math]\displaystyle{ dx_i(V)=v_i }[/math], для вектора [math]\displaystyle{ V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n) }[/math].
• Пусть в открытом множестве [math]\displaystyle{ \Omega\subset\R^n }[/math] задано гладкое отображение [math]\displaystyle{ F\colon\Omega\to\R^m }[/math]. Тогда

  [math]\displaystyle{ d_xF(v)=J(x)v, }[/math]

где [math]\displaystyle{ J(x) }[/math] есть матрица Якоби отображения [math]\displaystyle{ F }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].

См. также

• Кодифференциал