Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ F\colon X\rightarrow Y }[/math] — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в вещественное банахово пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Производной Фреше оператора [math]\displaystyle{ F }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] называется ограниченный линейный оператор [math]\displaystyle{ A\colon X\rightarrow Y }[/math], такой, что для любого [math]\displaystyle{ h\in X }[/math] выполняется следующее равенство:

[math]\displaystyle{ F(x+h)-F(x)=Ah+r_0(x,\;h), }[/math]

причем для остаточного члена [math]\displaystyle{ r_0(x,\;h) }[/math] верно соотношение:

[math]\displaystyle{ \frac{\|r_0(x,\;h)\|_Y}{\|h\|_X}\rightarrow 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ \|h\|_X\rightarrow 0. }[/math]

Если производная Фреше существует, то оператор [math]\displaystyle{ F }[/math] называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения [math]\displaystyle{ Ah }[/math] в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции [math]\displaystyle{ F }[/math].

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ f,g:G \rightarrow Y }[/math] — отображения нормированных пространств. Тогда производная Фреше удовлетворяет:

[math]\displaystyle{ (f+g)'(\varphi)=f'(\varphi)+g'(\varphi) }[/math]
[math]\displaystyle{ (\lambda f)'(\varphi)=\lambda f'(\varphi) }[/math], где λ — некий скаляр из поля над которым определены нормированные пространства.
[math]\displaystyle{ (f\circ g)'(\varphi)=(f'\circ g)(\varphi)\, g'(\varphi) }[/math].

См. также

Литература

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.