Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс [math]\displaystyle{ X = (X_t)_{t \geqslant 0} }[/math], заданный на фильтрованном вероятностном пространстве [math]\displaystyle{ \big(\Omega, \mathfrak{F}, (\mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0}, P\big) }[/math] с потоком [math]\displaystyle{ (\mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0} }[/math].

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ dX_t = a(t, \omega)\,dt + b(t, \omega)\,dB_t }[/math], или, в интегральной форме,

[math]\displaystyle{ X_t = X_0 + \int\limits_0^t a(s, \omega)\,ds + \int\limits_0^t b(s, \omega)\,dB_s, }[/math]

где [math]\displaystyle{ B = (B_t, \mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0} }[/math] — броуновское движение.

Пусть теперь [math]\displaystyle{ F(t, x) }[/math] — заданная на [math]\displaystyle{ \R_+ \times \R }[/math] непрерывная функция из класса [math]\displaystyle{ C^{1,2} }[/math], то есть имеющая производные [math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial t},\ \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}. }[/math]

При этих предположениях выполняется

[math]\displaystyle{ dF(t, X_t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} + a(t, \omega) \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{1}{2} b^2(t, \omega) \frac{\partial^2F}{\partial x^2} \right]\,dt + \frac{\partial F}{\partial x} b(t, \omega)\,dB_t. }[/math]

Говоря более строго, при каждом [math]\displaystyle{ t \gt 0 }[/math] для [math]\displaystyle{ F(t, X_t) }[/math] справедлива следующая формула Ито:

[math]\displaystyle{ F(t, X_t) = F(0, X_0) + \int\limits_0^t\left[ \frac{\partial F}{\partial t} + a(s, \omega) \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{1}{2} b^2(s, \omega) \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right]\,ds + \int\limits_0^t \frac{\partial F}{\partial x} b(s, \omega)\,dB_s. }[/math]

Многомерное обобщение

См. также

Ссылки

Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения