Функция распределения (статистическая физика)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Не следует путать с Функция распределения.
Статистическая физика
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
Статистики

Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами [math]\displaystyle{ q_{i} }[/math] и импульсами [math]\displaystyle{ p_{i} }[/math] её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин [math]\displaystyle{ q \equiv \left\{ q_{i} \right\} }[/math] и [math]\displaystyle{ p \equiv \left\{ p_{i} \right\} }[/math] образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределения

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства [math]\displaystyle{ \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p \equiv\prod\limits_{i} \mathrm{d}q_{i} \, \mathrm{d}p_{i} }[/math], с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\omega = \rho\!\left(t,q,p\right) \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p \qquad (1) }[/math]

Функцию [math]\displaystyle{ \rho\!\left(t,q,p\right) }[/math] называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция [math]\displaystyle{ \rho\!\left(t,q,p\right) }[/math] удовлетворяет условию нормировки:

[math]\displaystyle{ \int { \rho\!\left(t,q,p\right)\,\mathrm{d}q\, \mathrm{d}p} = 1, \qquad (2) }[/math]

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными [math]\displaystyle{ {q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\} }[/math] и [math]\displaystyle{ {p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\} }[/math], и тогда

[math]\displaystyle{ \rho\!\left(q,p\right)=\delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta\!\left(p-p^{(0)}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\delta\!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\!\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\!\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right) }[/math] (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция [math]\displaystyle{ \rho \!\left(t,q,p\right) }[/math] позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины [math]\displaystyle{ F\!\left(t,q,p\right) }[/math] — функции фазовых переменных q и p:

[math]\displaystyle{ \left\langle\hat{F}\right\rangle=\int { \hat{F}\, \hat{\rho} \, \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p }, }[/math]

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

[math]\displaystyle{ \rho\!\left(t,q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3) }[/math]

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций [math]\displaystyle{ \rho^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right) }[/math] можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция [math]\displaystyle{ \rho }[/math]. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения [math]\displaystyle{ \rho \!\left(t,q,p\right) }[/math] равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ [math]\displaystyle{ N_A }[/math], где [math]\displaystyle{ N_A }[/math] — число Авогадро).

Неполное описание

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин [math]\displaystyle{ \hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\} }[/math]. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей [math]\displaystyle{ \rho\! \left(A\right) }[/math] значений [math]\displaystyle{ A }[/math] дается равенством

[math]\displaystyle{ \rho\!\left(A\right)=\int {\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p\,\delta\!\left(A-\hat{A}\right)\rho\!\left(q,p\right)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta\!\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\!\left(A_m-\hat{A}_m\right) }[/math]. Функция распределения [math]\displaystyle{ \rho\!\left(A\right) }[/math] может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин [math]\displaystyle{ \hat{f}\equiv f\!\left(\hat{A}\right) }[/math] , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через [math]\displaystyle{ \hat{A} }[/math] . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

[math]\displaystyle{ \left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {\mathrm{d}A\, f\!\left(A\right)\,\rho\!\left(A\right)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{d}A \equiv \prod\limits_{m}\mathrm{d}A_m }[/math] и интегрирование ведется по всем возможным значениям [math]\displaystyle{ A }[/math]. Конечно, средние значения [math]\displaystyle{ \left\langle\hat{f}\right\rangle }[/math] величин [math]\displaystyle{ \hat{f} }[/math] можно было бы найти с помощью полной функции распределения [math]\displaystyle{ \rho\!\left(t,q,p\right) }[/math], если бы она была известна. Для функции [math]\displaystyle{ \rho\!\left(A\right) }[/math] так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

[math]\displaystyle{ \int{\mathrm{d}A\,\rho\!\left(A\right)}=1 }[/math]

Описание системы с помощью функции [math]\displaystyle{ \rho\!\left(A\right) }[/math] называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

[math]\displaystyle{ \frac {\partial\hat{\rho}\!\left(t\right)}{\partial t}+i\,L_t\,\hat{\rho}\!\left(t\right) = 0,\qquad (4) }[/math]

где [math]\displaystyle{ L_t }[/math] — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

[math]\displaystyle{ L_t \, \cdot \equiv-i\left\{\hat{H}_t, \cdot \right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ \hat{H}_t }[/math] — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени ([math]\displaystyle{ L_t=L }[/math]), решение уравнения (4) имеет вид

[math]\displaystyle{ \hat{\rho}\!\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\!\left(0\right)\qquad (5) }[/math]

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции [math]\displaystyle{ \hat{\psi}^{(n)} }[/math] и собственные значения [math]\displaystyle{ L^{(n)} }[/math] оператора [math]\displaystyle{ L }[/math].

Пользуясь полнотой и ортонормированностью [math]\displaystyle{ \hat{\psi}^{(n)} }[/math], напишем:

[math]\displaystyle{ \hat{\rho}\!\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\!\left(0\right)\right) }[/math] (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

[math]\displaystyle{ \hat{\rho}\!\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}} c_n\,\hat{\psi}^{(n)} }[/math]

См. также

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Функция_распределения_(статистическая_физика)&oldid=11430150