Разложение Риччи

Разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Составные части тензора Римана

Разложение выглядит так:

[math]\displaystyle{ R_{abcd}= \, S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}. }[/math]

Его элементами являются:

1. скалярная часть [math]\displaystyle{ S_{abcd} }[/math],
2. полубесследовая часть [math]\displaystyle{ E_{abcd} }[/math],
3. полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, [math]\displaystyle{ C_{abcd} }[/math].

Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

Скалярная часть

[math]\displaystyle{ S_{abcd} = \frac{R}{(n-1) \, (n-2)} \, H_{abcd} }[/math]

зависит только от скалярной кривизны [math]\displaystyle{ R = {R^m}_m }[/math] (где [math]\displaystyle{ R_{ab}={R^c}_{acb} }[/math] — тензор Риччи), и метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{ab} }[/math], который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор [math]\displaystyle{ H_{abcd} }[/math] с симметрией тензора кривизны:

[math]\displaystyle{ H_{abcd} = g_{ad} \, g_{cb} - g_{ac} \, g_{db} = 2g_{a[d} \, g_{c]b}. }[/math]

Полубесследовая часть

[math]\displaystyle{ E_{abcd} = \frac{1}{n-2} \, \left( g_{ac} \, R_{bd} - g_{ad} \, R_{bc} + g_{bd} \, R_{ac} - g_{bc} \, R_{ad} \right) = \frac{2}{n-2} \, \left( g_{a[c} \, R_{d]b} - g_{b[c} \, R_{d]a} \right) }[/math]

получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

[math]\displaystyle{ S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{n} \, g_{ab} \, R }[/math]

и метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{ab} }[/math].

Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: в рамерностях 4 и выше, обращение его в ноль, влечёт, что многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

В случае лоренцева 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна [math]\displaystyle{ G_{ab} = R_{ab} - 1/2 \, g_{ab} R }[/math] имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштейна и тензора Риччи совпадают

[math]\displaystyle{ S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, R = G_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, G. }[/math]

Замечание о терминологии: обозначения [math]\displaystyle{ R_{abcd}, \, C_{abcd} }[/math] — стандартны, [math]\displaystyle{ S_{ab}, \, E_{abcd} }[/math] — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры [math]\displaystyle{ S_{abcd} }[/math] и [math]\displaystyle{ H_{abcd} }[/math] не имеют устоявшихся обозначений.

Как неприводимое представление

Разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группы. Пусть V — n-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения V⊗V⊗V⊗V, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

[math]\displaystyle{ R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z) }[/math]

и симметричен относительно их перестановки

[math]\displaystyle{ R(x,y,z,w) = R(z,w,x,y), }[/math]

для всех x,y,z,w ∈ V^∗. Тогда R принадлежит подпространству [math]\displaystyle{ S^2\Lambda^2V }[/math], квадратичных форм на бивекторах пространства V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения антисимметризации [math]\displaystyle{ b\colon S^2\Lambda^2V\to \Lambda^4V }[/math]

[math]\displaystyle{ b\colon R(x,y,z,w) \mapsto \tfrac13\cdot[R(x,y,z,w) + R(y,z,x,w) + R(z,x,y,w)]. }[/math]

Ядро [math]\displaystyle{ \mathop{\rm Ker}b\subset S^2\Lambda^2V }[/math] представляет собой пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи представляет собой разложение этого пространства на неприводимые компоненты. Отображение свёртки Риччи

[math]\displaystyle{ c : S^2\Lambda^2 V \to S^2V }[/math]

определяется равенством

[math]\displaystyle{ c(R)(x,y) = \operatorname{tr}R(x,\cdot,y,\cdot). }[/math]

Это отображение позволяет сопоставить каждому алгебраическому тензору кривизны симметрическую 2-форму. Наоборот, для любых симметрических 2-форм [math]\displaystyle{ h }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] произведение Кулкарни — Номидзу

[math]\displaystyle{ h{~\wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc~} k(x,y,z,w) = h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z) -h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w) }[/math]

определяет алгебраический тензор кривизны.

При [math]\displaystyle{ n\ge 4 }[/math] имеется (единственное) ортогональное разложение на неприводимые подпространства:

RV = SV ⊕ EV ⊕ CV,

где

[math]\displaystyle{ \mathbf{S}V = \mathbb{R} g\circ g ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{E}V = g\circ S^2_0V, }[/math] где S2
0V — пространство симметричных 2-форм с нулевым следом;

[math]\displaystyle{ \mathbf{C}V = \ker c \cap \ker b. }[/math]

Компоненты S, E и C разложения Риччи данного тензора Римана R представляют собой ортогональные проекции R на инвариантные подпространства. В частности,

[math]\displaystyle{ R = S + E + C }[/math]

и

[math]\displaystyle{ |R|^2 = |S|^2 + |E|^2 + |C|^2. }[/math]

Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы, и таким образом это разложение является частным случаем разложения модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители.

В 4-мерном случае, модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W⁺ и W⁻.

Физическая интерпретация

Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). В этой теории уравнения Эйнштейна

[math]\displaystyle{ G^{ab} = 8 \pi \, T^{ab}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ T^{ab} }[/math] — тензор энергии-импульса, который содержит плотности и потоки энергии и импульса всей негравитационной материи, утверждают, что тензор Ричи (или, эквивалентно, тензор Эйнштейна) описывают ту часть гравитационного поля, которая непосредственно порождается негравитационными энергией и импульсом. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая распространяется даже через области пространства, не содержащие материи или полей негравитационной природы — например, в виде гравитационных волн или приливных сил. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обнуляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.

Ссылки

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, с. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

• Hawking, S. W.; and Ellis, G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-09906-4. See section 2.6 for the decomposition. This book uses opposite signature but the same Landau-Lifshitz spacelike sign convention used in the Wikipedia.

• Weinberg, Steven. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (англ.). — New York: John Wiley & Sons, 1972. — ISBN 0-471-92567-5. See section 6.7 for a discussion of the decomposition (but note different sign conventions).

• Wald, Robert M. General Relativity (неопр.). — The University of Chicago Press, 1984. — ISBN 0-226-87033-2. See section 3.2 for a discussion of the decomposition.

• Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . Section 6.1 discusses the decomposition. Versions of the decomposition also enter into the discussion of conformal and projective geometries, in chapters 7 and 8.

• Singer, I.M. & Thorpe, J.A. (1969), The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, с. 355–365 .