Мультивектор

Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).

Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.

2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.

n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.

Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.

k-вектор дуален к k-форме.

Свойства:

• Любая линейно независимая система векторов [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_k }[/math] из [math]\displaystyle{ V }[/math] определяет ненулевой k-вектор;
• Линейно независимые системы [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_k }[/math] и [math]\displaystyle{ b_1,b_2,\dots,b_k }[/math] порождают одно и то же подпространство в [math]\displaystyle{ V }[/math] в том и только в том случае, когда
      [math]\displaystyle{ a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_k=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots\wedge b_k }[/math];
• Для любого ненулевого поливектора [math]\displaystyle{ t \in \bigwedge\nolimits^k V }[/math] его аннулятор [math]\displaystyle{ \operatorname{Ann} t= \{v\in V|t\wedge v=0\} }[/math] есть подпространство размерности [math]\displaystyle{ \le k }[/math], причём поливектор [math]\displaystyle{ t }[/math] разложим тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \dim \operatorname{Ann} t=k }[/math];
• Разложимые k-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в [math]\displaystyle{ \Lambda^k(V) }[/math] соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
• Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
• Бивектор [math]\displaystyle{ t }[/math] разложим тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ t\wedge t=0 }[/math];
• Если фиксировать ненулевой [math]\displaystyle{ n }[/math]-вектор [math]\displaystyle{ \omega \in \bigwedge\nolimits^n(V) }[/math], то возникает естественный изоморфизм:

  [math]\displaystyle{ \pi: \bigwedge\nolimits^k (V) \to \bigwedge\nolimits^{n-k} (V) }[/math]

  такой, что [math]\displaystyle{ t\wedge u=\langle\pi(t),u\rangle \omega }[/math] для всех [math]\displaystyle{ u \in \bigwedge\nolimits^{n-k}(V) }[/math].

Литература

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (недоступная ссылка), — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.