Пространственная форма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны [math]\displaystyle{ k }[/math].

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ k=0 }[/math], [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math].

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: [math]\displaystyle{ k=-1, 0, +1 }[/math].

Примеры

  • Евклидовы пространственные формы:
  • Сферические пространственные формы:
  • Гиперболические пространственные формы:
    • Пространство Лобачевского [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^n }[/math].
    • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода [math]\displaystyle{ m }[/math] можно склеить из выпуклого [math]\displaystyle{ 4m }[/math]-угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности [math]\displaystyle{ 2 }[/math] рода [math]\displaystyle{ m }[/math] зависит от [math]\displaystyle{ 6m-6 }[/math] вещественных параметров.
    • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в[1].

Общие свойства

  • При произвольном [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] существует единственная с точностью до изометрии [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная односвязная пространственная форма [math]\displaystyle{ M^n_k }[/math] кривизны [math]\displaystyle{ k }[/math]. Если [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] то это [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная сфера радиуса [math]\displaystyle{ 1/\sqrt k }[/math], при [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] это евклидово пространство и при [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math] это [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное пространство Лобачевского.
    • Универсальное накрытие любой [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной пространственной формы кривизны [math]\displaystyle{ k }[/math] с поднятой метрикой изометрично [math]\displaystyle{ M^n_k }[/math].
    • Иначе говоря, любая [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная пространственная форма кривизны [math]\displaystyle{ k }[/math] может быть получена из [math]\displaystyle{ M^n_k }[/math] факторизацией по дискретной группе [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства [math]\displaystyle{ L=M^n_k/\Gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ L'=M^n_k/\Gamma' }[/math] изометричны в том и только в том случае, когда [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ \Gamma' }[/math] сопряжены в группе всех движений [math]\displaystyle{ M^n_k }[/math]. Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^n }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{E}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^n }[/math], действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в[2]

  • Если [math]\displaystyle{ n }[/math] чётно, то единственным движением сферы [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^n }[/math] без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^n=\mathbb{S}^n/\Gamma }[/math] по группе [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
    • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] изометрична либо [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^n }[/math], либо [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^n }[/math].
  • Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
  • Чтобы нециклическая группа порядка [math]\displaystyle{ N }[/math] могла служить фундаментальной группой [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы [math]\displaystyle{ N }[/math] было взаимно просто с [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

  • Для любого [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности [math]\displaystyle{ n }[/math].
  • Две компактные евклидовы пространственные формы [math]\displaystyle{ M=\mathbb{E}^n/\Gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ M' = \mathbb{E}^n/\Gamma' }[/math] аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ \Gamma' }[/math] изоморфны.
    • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
  • Абстрактная группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы [math]\displaystyle{ M^n }[/math], когда
    1. [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] имеет нормальную абелеву подгруппу [math]\displaystyle{ \Gamma^* }[/math] конечного индекса, изоморфную [math]\displaystyle{ \Z^n }[/math];
    2. [math]\displaystyle{ \Gamma^* }[/math] совпадает со своим централизатором в [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math];
    3. [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] не имеет элементов конечного порядка.
    • Если такая группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{E}^n }[/math], то [math]\displaystyle{ \Gamma^* }[/math] совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], и имеется нормальное накрытие пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] плоским тором [math]\displaystyle{ \mathbb{T}^n=\mathbb{E}^n/\Gamma^* }[/math].
    • Конечная группа [math]\displaystyle{ \Gamma/\Gamma^* }[/math] изоморфна группе голономии пространства [math]\displaystyle{ M^n }[/math].
  • Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
    • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
  • Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
  • Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
    • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

  • Компактные гиперболические пространственные формы размерности [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math], имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости [math]\displaystyle{ Im(z)\gt 0 }[/math] — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом[нем.], который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература

  1. ↑ Винберг Э. Б. «Матем. сб.». — 1969, т. 78, № 4. — С. 633—39.
  2. ↑ Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. — М., 1982.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Пространственная_форма&oldid=19543590