Аффинная эквивалентность
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
Два множества [math]\displaystyle{ A,B \in \mathbb{R}^{n} }[/math] называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} }[/math], переводящее [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ B }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ f(A) = B }[/math].
Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств [math]\displaystyle{ \mathcal P(\mathbb{R}^{n}) }[/math] множества [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n} }[/math] и, в частности, на любом подмножестве [math]\displaystyle{ X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{n}) }[/math].
Например, если [math]\displaystyle{ X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{2}) }[/math] —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:
- [math]\displaystyle{ x^2+y^2\,=1 }[/math] — вещественная единичная окружность;
- [math]\displaystyle{ x^2-y^2\,=1 }[/math] — равнобочная гипербола;
- [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] — стандартная парабола;
- [math]\displaystyle{ x^2+y^2\,=-1 }[/math] — мнимая окружность.
Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.