Линзовое пространство

Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством [math]\displaystyle{ S^{2n-1}/ \Z_p }[/math] сферы [math]\displaystyle{ S^{2n-1} }[/math] по изометрическому свободному действию циклической группы [math]\displaystyle{ \Z_p }[/math].

Сферу [math]\displaystyle{ S^{2n-1} }[/math] всегда возможно расположить в комплексном пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb C^{n} }[/math] с фиксированным базисом, так чтобы образующая [math]\displaystyle{ \Z_p }[/math], действовала на каждой координате [math]\displaystyle{ z_i }[/math] умножениями на [math]\displaystyle{ \xi_p^{q_i} }[/math] где [math]\displaystyle{ \xi_p=\exp{2\pi i/p} }[/math]. Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ q_i }[/math] взаимнопросто с [math]\displaystyle{ p }[/math]. Это пространство обычно обозначается [math]\displaystyle{ L(p;q_1,\ldots,q_n) }[/math].

Фундаментальную область действия [math]\displaystyle{ \Z_p }[/math] на [math]\displaystyle{ S^{2n-1} }[/math] удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство».

Свойства

• Прямой предел [math]\displaystyle{ S^\infty/ \Z_p }[/math] линзовых пространств при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] дает асферическое пространство, а точнее [math]\displaystyle{ K(\Z_p, 1) }[/math] пространство.
• В трехмерном случае линзовое пространство совпадают с многообразиями, имеющими диаграмму Хегора рода 1, и поэтому они являются многообразиями Зейферта.