Симметрическое пространство
Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.
История
Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.
Примеры
- Евклидово пространство,
- сферы,
- Различные проективные пространства с естественной метрикой.
- Пространство Лобачевского
- Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
- Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны [math]\displaystyle{ -1 }[/math]) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math]— связное Риманово многообразие и [math]\displaystyle{ p }[/math] —точка в [math]\displaystyle{ M }[/math].
Отображение [math]\displaystyle{ s_p\colon M \to M }[/math] называется геодезической симметрией с центром в точке [math]\displaystyle{ p }[/math], если
- [math]\displaystyle{ s_p\circ\exp_p= -\exp_p. }[/math]
Отображение [math]\displaystyle{ s_p\colon U \to U }[/math], определённое на [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ p }[/math], называется локальной геодезической симметрией с центром в точке [math]\displaystyle{ p }[/math], если
- [math]\displaystyle{ s_p\circ\exp_p(v)= -\exp_p(v) }[/math]
при [math]\displaystyle{ |v|\lt \varepsilon }[/math].
Риманово многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] называется симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией [math]\displaystyle{ M }[/math].
Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то [math]\displaystyle{ M }[/math] называется локально симметрическим пространством.
Связанные определения
- Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
- Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.
Свойства
- Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.
- Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
- В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.
- Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
- В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством [math]\displaystyle{ G/K }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа Ли и [math]\displaystyle{ K }[/math] — её подгруппа.
- Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.
- Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
- Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
- Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.
Классификация
Любое симметрическое пространство является однородным [math]\displaystyle{ G/K }[/math], ниже дана классификация через [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ K }[/math], обозначения прострнаств те же, что у Картана.
| Обозначение | G | K | Размерность | Ранг | Геометрическое описание |
|---|---|---|---|---|---|
| AI | [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ (n-1)(n+2)/2 }[/math] | n − 1 | Пространство всех вещественных структур на [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] сохраняющих комплексный определитель |
| AII | [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2n) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ (n-1)(2n+1) }[/math] | n − 1 | Пространство кватернионных структур на [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{2n} }[/math] с фиксированной Эрмитовой метрикой |
| AIII | [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(p+q) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{S}(\mathrm{U}(p) \times \mathrm{U}(q)) }[/math] | [math]\displaystyle{ 2pq }[/math] | min(p,q) | Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{p+q} }[/math] |
| BDI | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(p+q) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(p) \times \mathrm{SO}(q) }[/math] | [math]\displaystyle{ pq }[/math] | min(p,q) | Грассманиан ориентированных p-мерных [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{p+q} }[/math] |
| DIII | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(2n) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{U}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ n(n-1) }[/math] | [n/2] | Пространство ортогональных комплексных структур на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{2n} }[/math] |
| CI | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{U}(n) }[/math] | [math]\displaystyle{ n(n+1) }[/math] | n | Пространство комплексных структур на [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^n }[/math] сохраняющих скалярное произведение |
| CII | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(p+q) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(p) \times \mathrm{Sp}(q) }[/math] | [math]\displaystyle{ 4pq }[/math] | min(p,q) | Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^{p+q} }[/math] |
| EI | [math]\displaystyle{ E_6 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(4)/\{\pm I\} }[/math] | 42 | 6 | |
| EII | [math]\displaystyle{ E_6 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(6)\cdot\mathrm{SU}(2) }[/math] | 40 | 4 | Пространство симметрических подпространств в [math]\displaystyle{ (\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] исометричных [math]\displaystyle{ (\mathbb C\otimes \mathbb H)P^2 }[/math] |
| EIII | [math]\displaystyle{ E_6 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(10)\cdot\mathrm{SO}(2) }[/math] | 32 | 2 | Комплексифицированная проективная плоскость Келли [math]\displaystyle{ (\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] |
| EIV | [math]\displaystyle{ E_6 }[/math] | [math]\displaystyle{ F_4 }[/math] | 26 | 2 | Пространство симметрических подпространств в [math]\displaystyle{ (\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] изометричных [math]\displaystyle{ \mathbb{OP}^2 }[/math] |
| EV | [math]\displaystyle{ E_7 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(8)/\{\pm I\} }[/math] | 70 | 7 | |
| EVI | [math]\displaystyle{ E_7 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(12)\cdot\mathrm{SU}(2) }[/math] | 64 | 4 | |
| EVII | [math]\displaystyle{ E_7 }[/math] | [math]\displaystyle{ E_6\cdot\mathrm{SO}(2) }[/math] | 54 | 3 | Пространство симметрических подпространств в [math]\displaystyle{ (\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] изоморфных [math]\displaystyle{ (\mathbb{C}\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] |
| EVIII | [math]\displaystyle{ E_8 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin}(16)/\{\pm vol\} }[/math] | 128 | 8 | |
| EIX | [math]\displaystyle{ E_8 }[/math] | [math]\displaystyle{ E_7\cdot\mathrm{SU}(2) }[/math] | 112 | 4 | Пространство симметрических подпространств в [math]\displaystyle{ (\mathbb{O}\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] изоморфных [math]\displaystyle{ (\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2 }[/math] |
| FI | [math]\displaystyle{ F_4 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sp}(3)\cdot \mathrm{SU}(2) }[/math] | 28 | 4 | Пространство симметрических подпространств в [math]\displaystyle{ \mathbb{O}P^2 }[/math] изоморфных [math]\displaystyle{ \mathbb{H}P^2 }[/math] |
| FII | [math]\displaystyle{ F_4 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin}(9) }[/math] | 16 | 1 | плоскость Кэли [math]\displaystyle{ \mathbb{O}P^2 }[/math] |
| G | [math]\displaystyle{ G_2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(4) }[/math] | 8 | 2 | Пространство подалгебр алгебры Кэли [math]\displaystyle{ \mathbb{O} }[/math] изоморфные алгебре Кватернионов [math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math] |
Вариации и обобщения
Определение через группы Ли
Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства [math]\displaystyle{ G/K }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] группа Ли и
- [math]\displaystyle{ K=\{ g\in G: \sigma(g) = g\} }[/math]
для некоторой инволюции [math]\displaystyle{ \sigma\colon G\to G }[/math].
- Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция [math]\displaystyle{ \sigma\colon G\to G }[/math] группы изометрий [math]\displaystyle{ G }[/math] пространства определяется как
- [math]\displaystyle{ \sigma\colon h \mapsto s_p \circ h \circ s_p }[/math]
- Обратное верно, если [math]\displaystyle{ K }[/math] компактна.
Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности
Слабо симметрические пространства
В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки [math]\displaystyle{ p }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] и касательного вектора [math]\displaystyle{ v }[/math] в [math]\displaystyle{ p }[/math], есть изометрия [math]\displaystyle{ i }[/math], зависящая от [math]\displaystyle{ v }[/math] в [math]\displaystyle{ p }[/math], такая, что
- [math]\displaystyle{ i }[/math] фиксирует [math]\displaystyle{ p }[/math];
- [math]\displaystyle{ di(v)=-v }[/math].
Если [math]\displaystyle{ i }[/math] можно выбрать независимо от [math]\displaystyle{ v }[/math], то пространство является симметрическим.
Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли[1].
Сферические пространства
Компактное однородное пространство [math]\displaystyle{ G/K }[/math] называется сферическим, если любое неприводимое представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math] имеет не более одного [math]\displaystyle{ K- }[/math]инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.[2][3][4][5]
Эрмитовы симметрические пространствах
Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.
Примечания
- ↑ Akhiezer, D. N. & Vinberg, E. B. (1999), Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transf. Groups Т. 4: 3-24, DOI 10.1007/BF01236659
- ↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
- ↑ И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
- ↑ M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
- ↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Архивная копия от 16 декабря 2019 на Wayback Machine The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)
Литература
- Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
- Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
- Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.