Дифференциал (математика)
Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.
Обозначения
Обычно дифференциал функции [math]\displaystyle{ f }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ df }[/math]. Некоторые авторы предпочитают обозначать [math]\displaystyle{ {\rm d}f }[/math] шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ d_{x_0}f }[/math], а иногда [math]\displaystyle{ df_{x_0} }[/math] или [math]\displaystyle{ df[x_0] }[/math], а также [math]\displaystyle{ df }[/math], если значение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] от [math]\displaystyle{ h }[/math] может обозначаться как [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) }[/math], а иногда [math]\displaystyle{ df_{x_0}(h) }[/math] или [math]\displaystyle{ df[x_0](h) }[/math], а также [math]\displaystyle{ df(h) }[/math], если значение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ясно из контекста.
Использование знака дифференциала
- Знак дифференциала используется в выражении для интеграла [math]\displaystyle{ \int f(x)\, dx }[/math]. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал [math]\displaystyle{ dx }[/math] вводится как часть определения интеграла[источник не указан 2543 дня].
- Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0) }[/math]. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и тождественной функции [math]\displaystyle{ x }[/math] верно соотношение:
- [math]\displaystyle{ d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x. }[/math]
Определения
Для функций
Дифференциал функции [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R} }[/math] может быть определён как линейная функция
- [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h, }[/math]
где [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], а [math]\displaystyle{ h }[/math] — приращение аргумента при переходе от [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] к [math]\displaystyle{ x_0 + h }[/math].
Таким образом [math]\displaystyle{ df }[/math] есть функция двух аргументов [math]\displaystyle{ df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h) }[/math].
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h) }[/math], линейно зависящая от [math]\displaystyle{ h }[/math], и для которой верно следующее соотношение
- [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h). }[/math]
Для отображений
Дифференциалом отображения [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R}^n }[/math] называют линейное отображение [math]\displaystyle{ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] такое, что выполняется условие
- [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h). }[/math]
Связанные определения
- Отображение [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math] называется дифференцируемым в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R}^n }[/math], если определён дифференциал [math]\displaystyle{ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m }[/math].
Свойства
- Матрица линейного оператора [math]\displaystyle{ d_{x_0}f }[/math] равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные [math]\displaystyle{ f }[/math].
- Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
- Дифференциал функции [math]\displaystyle{ f }[/math] связан с её градиентом [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math] следующим определяющим соотношением
- [math]\displaystyle{ d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle }[/math]
История
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально [math]\displaystyle{ dx }[/math] применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения
Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.
- Дифференциал (дифференциальная геометрия)
- Дифференциалы высших порядков
- Дифференциал Ито
- Внешний дифференциал
- Производная Пеано
- Производная Фреше
- Вариация функционала
Литература
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»