Максимальные и минимальные элементы
Элемент [math]\displaystyle{ M }[/math] частично упорядоченного множества [math]\displaystyle{ A }[/math] называется максимальным элементом, если
- [math]\displaystyle{ \forall a \in A\; (a \geqslant M \Rightarrow a=M). }[/math]
Аналогично, элемент [math]\displaystyle{ m\in A }[/math] называется минимальным, если
- [math]\displaystyle{ \forall a \in A\; (a \leqslant m \Rightarrow a=m). }[/math]
Записывается как [math]\displaystyle{ M = \max A }[/math] (соотв. свойство минимальности записывается как [math]\displaystyle{ m = \min A }[/math]). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой [math]\displaystyle{ \R }[/math] с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.
Не существует максимального элемента подмножества [math]\displaystyle{ \R }[/math], если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала [math]\displaystyle{ A = \left( {a,b} \right) }[/math] не существует ни минимального, ни максимального элемента.
Литература
- Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.