Расширенная числовая прямая

Эта статья о числовой прямой, расширенной двумя знаковыми бесконечностями; о числовой прямой, расширенной одной беззнаковой бесконечностью, см. Проективно расширенная числовая прямая.

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math], дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] (положительная бесконечность) и [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] (отрицательная бесконечность), то есть [math]\displaystyle{ \overline \R = \R \cup \{ +\infty; -\infty\}=[-\infty; +\infty] }[/math]. Следует понимать, что [math]\displaystyle{ -\infty,+\infty }[/math] не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] считаются неравными друг другу.

При этом для любого вещественного числа [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] по определению полагают выполненными неравенства [math]\displaystyle{ -\infty \lt x \lt +\infty }[/math]. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.

Знак плюс для элемента [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math].

Порядок

Множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] линейно упорядоченно по отношению [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math]. Однако в [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} }[/math] как раз состоит в добавлении максимального ([math]\displaystyle{ +\infty }[/math]) и минимального ([math]\displaystyle{ -\infty }[/math]) элементов.

Благодаря этому в системе [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} }[/math] всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

[math]\displaystyle{ (\alpha,\beta) = \{x \in \overline \R \colon \alpha \lt x \lt \beta\} }[/math] — интервал

[math]\displaystyle{ (\alpha, \beta] = \{ x \in \overline \R \colon \alpha \lt x \leq \beta\} }[/math], [math]\displaystyle{ [\alpha, \beta) = \{ x \in \overline \R \colon \alpha \leq x \lt \beta\} }[/math] — полуинтервал

[math]\displaystyle{ [\alpha, \beta] = \{ x \in \overline \R \colon \alpha \leq x \leq \beta\} }[/math] — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.

Топология

Отношение порядка [math]\displaystyle{ \lt }[/math] порождает топологию [math]\displaystyle{ \tau }[/math] на [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} }[/math]. В топологии [math]\displaystyle{ \tau }[/math] открытыми промежутками являются промежутки вида:

[math]\displaystyle{ (\alpha,\beta) = \{x \in \overline \R \colon \alpha \lt x \lt \beta\} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline \R \colon x \gt \alpha\} }[/math]

[math]\displaystyle{ [-\infty, \beta) = \{ x \in \overline \R \colon x \lt \beta\} }[/math]

[math]\displaystyle{ [-\infty, +\infty] = \{ x \in \overline \R\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha, \beta \in \overline \R }[/math]. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестности

Окрестностью [math]\displaystyle{ U(a) }[/math] точки [math]\displaystyle{ a \in \overline \R }[/math] называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии [math]\displaystyle{ \tau }[/math], всякая окрестность точки [math]\displaystyle{ a }[/math] включает один из открытых промежутков, содержащий [math]\displaystyle{ a }[/math].

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестности [math]\displaystyle{ U_{\varepsilon} (a) }[/math] точки расширенной числовой прямой ([math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]).

В случае [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], то есть когда [math]\displaystyle{ a }[/math] является числом, [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью [math]\displaystyle{ a }[/math] называется множество:

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon). }[/math]

Если же [math]\displaystyle{ a = +\infty }[/math], то:

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right], }[/math]

а если [math]\displaystyle{ a = -\infty }[/math], то:

[math]\displaystyle{ U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right). }[/math]

Понятие [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда [math]\displaystyle{ a }[/math] является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] соответствующие окрестности уменьшаются: [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon_1 \lt \varepsilon_2 \Rightarrow U_{\varepsilon_1}(a) \subset U_{\varepsilon_2}(a) }[/math].

Проколотые окрестности и [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестности определяются соответственно как окрестность и [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестность, из которых удалили саму точку.

Пределы

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечноти. В [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть [math]\displaystyle{ f \colon X \to \overline \R }[/math], где [math]\displaystyle{ X \subset \overline \R }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ f }[/math] может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть [math]\displaystyle{ x_0, a \in \overline \R }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists \delta \gt 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a)) }[/math]

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] равен одной из бесконечностей, то в [math]\displaystyle{ \widehat \R }[/math] он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в [math]\displaystyle{ \widehat \R }[/math] равен бесконечности, это ещё не значит, что в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} }[/math] в [math]\displaystyle{ \widehat \R }[/math] равен бесконечности, а в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в [math]\displaystyle{ \widehat \R }[/math] равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

Компактность

[math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math] является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] может рассматриваться как двухточечная компактификация [math]\displaystyle{ \R }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] оказывается гомеоформным отрезку [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм [math]\displaystyle{ f \colon [0,1] \to \overline \R }[/math] задаётся формулой:

[math]\displaystyle{ f(x) = \begin{cases}-\infty & x = 0 \\ \operatorname{tg} \left( \pi x - \dfrac{\pi}{2} \right) & 0 \lt x \lt 1 \\ +\infty & x = 1 \end{cases} }[/math]

В [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] существует сходящаяся в [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] подпоследовательность. Таким образом, [math]\displaystyle{ \overline \R }[/math] секвенциально компактно.

Операции

Для вещественных чисел и элементов [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] определены следующие действия:

[math]\displaystyle{ \begin{align} a \pm \infty = \pm\infty + a & = +\infty, & a & \neq \mp\infty \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \gt 0 \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \lt 0 \\ \frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \gt 0 \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \lt 0 \\ a^{+\infty} & = +\infty, & a & \gt 1 \\ a^{-\infty} & = +\infty, & 0 & \lt a \lt 1 \\ a^{-\infty} & = 0, & a & \gt 1 \\ a^{+\infty} & = 0, & 0 & \leq a \lt 1\\ (+\infty)^a & = +\infty, & a & \gt 0 \\ (+\infty)^a & = 0, & a & \lt 0 \\ \operatorname{ln}{+\infty} & = +\infty \end{align} }[/math]

Значение выражений [math]\displaystyle{ (+\infty) - (+\infty), 0 \times (\pm\infty),\frac00 }[/math], [math]\displaystyle{ 1^{\pm\infty} }[/math], [math]\displaystyle{ (\pm\infty)^0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] не определены.

Вопреки распространённому мнению, значение выражения [math]\displaystyle{ \frac{a}{0} }[/math], где [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]. Её предел в нуле слева равен [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], а справа [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись [math]\displaystyle{ \frac{a}{0} = \infty }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{a}{0}=\pm\infty }[/math] относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

• [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a+b)+c=a+(b+c) }[/math]
• [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) }[/math]

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

• [math]\displaystyle{ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c }[/math]

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

• если [math]\displaystyle{ a \leq b }[/math], то [math]\displaystyle{ a + c \leq b + c; }[/math]
• если [math]\displaystyle{ a \leq b,~c\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ a \cdot c \leq b \cdot c. }[/math]

См. также

Проективно расширенная числовая прямая

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.