Дизъюнкция

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Символы со сходным начертанием: V · v · Ѵ · ѵ · Ⅴ · ν

Шаблон:Булева функция Дизъю́нкция (от лат. disjunctio — «разобщение»), логи́ческое сложе́ние, логи́ческое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу»[1].

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и [math]\displaystyle{ n }[/math]-арной (имеющей [math]\displaystyle{ n }[/math] операндов) для произвольного [math]\displaystyle{ n }[/math].

Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:

[math]\displaystyle{ a \lor b, \; a }[/math] || [math]\displaystyle{ b, \; a }[/math] | [math]\displaystyle{ b, \; a~\mbox{OR}\,\,b }[/math][math]\displaystyle{ , \; \max(a,b). }[/math]

При этом обозначение [math]\displaystyle{ a \lor b }[/math], рекомендованное международным стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логике[2]. Появилось оно не сразу: Джордж Буль, положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию, которую обозначал знаком +), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|·. Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак +, но уже применительно к обычной дизъюнкции[3]. Символ [math]\displaystyle{ \lor }[/math] как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»[4] Бертрана Рассела (1908); он образован от лат. vel, что означает «или»[5][6].

Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60[7]. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR)[8]; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or[9][10]; в языках C и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции[11]).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что [math]\displaystyle{ 0 \lt 1 }[/math]), оказывается, что [math]\displaystyle{ (a \lor b)\,=\,\max(a,b). }[/math] Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики[12][13].

Булева алгебра

Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ»). При этом результат равен наибольшему операнду.

В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Таким образом, результат равен [math]\displaystyle{ 0 }[/math], если все операнды равны [math]\displaystyle{ 0 }[/math]; во всех остальных случаях результат равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Таблица истинности
[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ a \lor b }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math]

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ c }[/math] [math]\displaystyle{ a \lor b\lor c }[/math]
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция, в многозначных логиках называется максимум: [math]\displaystyle{ max(a,b) }[/math], где [math]\displaystyle{ a, b \in [0,...,n-1] }[/math], а [math]\displaystyle{ n }[/math] — значность логики. Возможны и другие варианты[чего?]. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов [math]\displaystyle{ 0, 1 }[/math].

Название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция, логи́ческое «ИЛИ», логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

  • [math]\displaystyle{ a \to a \lor b }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b \to a \lor b }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (a \to c) \to ((b \to c) \to ((a \lor b) \to c)) }[/math]

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Основная статья: Логические элементы § Дизъюнкция (логическое сложение). Операция ИЛИ
Логический элемент 2ИЛИ

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

  • «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
  • «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Теория множеств

С точки зрения теории множеств, дизъюнкция аналогична операции объединения.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата [math]\displaystyle{ false }[/math] или [math]\displaystyle{ true }[/math]. Например: 

if (a || b)
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен [math]\displaystyle{ false }[/math], если оба операнда равны [math]\displaystyle{ false }[/math] или [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. В любом другом случае результат будет равен [math]\displaystyle{ true }[/math].

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно [math]\displaystyle{ true }[/math], то значение правого операнда не вычисляется (вместо [math]\displaystyle{ b }[/math] может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую 

{$B-}

или выключающую 

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда: 

if (a == NULL || a->x == 0)
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a = [math]\displaystyle{ 01100101_2 }[/math]
b = [math]\displaystyle{ 00101001_2 }[/math]
то
a ИЛИ b = [math]\displaystyle{ 01101101_2 }[/math]

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и (или)», иногда «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как [math]\displaystyle{ 1 }[/math], а «ложь» как [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — строгой дизъюнкции (исключающего «ИЛИ»).

См. также

Примечания

  1. ↑ Гутников В. С. . Интегральная электроника в измерительных приборах. — Л.: Энергия, 1974. — 144 с. — С. 14—16.
  2. ↑ Кондаков, 1975, с. 534.
  3. ↑ Стяжкин Н. И. . Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с. — С. 320, 349, 352, 368.
  4. ↑ Russell B.  Mathematical Logic as Based on the Theory of Types // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262.
  5. ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic. // Website Jeff Miller Web Pages. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 20 февраля 1999 года.
  6. ↑ Кондаков, 1975, с. 149—150.
  7. ↑ Кондаков, 1975, с. 30.
  8. ↑ Пратт Т. . Языки программирования: разработка и реализация. — М.: Мир, 1979. — 574 с. — С. 352, 439.
  9. ↑ Грогоно П. . Программирование на языке Паскаль. — М.: Мир, 1982. — 384 с. — С. 51.
  10. ↑ Вегнер П. . Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
  11. ↑ Эллис М., Строуструп Б. . Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
  12. ↑ Яблонский С. В. . Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1979. — 272 с. — С. 9—10, 37.
  13. ↑ Рвачёв В. Л. . Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с. — С. 38, 66.

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Дизъюнкция&oldid=5844772