Область определения функции

Область определения  — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] задана функция, которая отображает множество [math]\displaystyle{ X }[/math] в другое множество, то множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция [math]\displaystyle{ f }[/math], которая отображает множество [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math], то есть: [math]\displaystyle{ f \colon X \to Y }[/math], то множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется областью определения или областью задания функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ D(f) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}\,f }[/math] (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве [math]\displaystyle{ D }[/math] некоторого множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. В этом случае множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется областью отправления функции [math]\displaystyle{ f }[/math].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math];
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] совпадает с областью отправления ([math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]).

Гармоническая функция

Область определения функции [math]\displaystyle{ f(x)=1/x }[/math] представляет собой комплексную плоскость без нуля:

[math]\displaystyle{ \mathrm{dom}\,f=\mathbb{C}\setminus \{0\} }[/math],

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n} }[/math]

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

[math]\displaystyle{ b_0+b_1x+\dots+b_nx^n=0 }[/math].

Эти точки называются полюсами функции [math]\displaystyle{ f }[/math].

Так, функция [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{x^2-4} }[/math] определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где [math]\displaystyle{ x^2-4\neq 0 }[/math]. Таким образом [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}\,f }[/math] является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\{f\mid f\colon X \to \mathbb{R}\} }[/math] — семейство отображений из множества [math]\displaystyle{ X }[/math] в множество [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Тогда можно определить отображение вида [math]\displaystyle{ F\colon \mathbb{F} \to \mathbb{R} }[/math]. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку [math]\displaystyle{ x_0\in~X }[/math], то можно определить функцию [math]\displaystyle{ F(f)=f(x_0) }[/math], которая принимает в «точке» [math]\displaystyle{ f }[/math] то же значение, что и сама функция [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

См. также

• Область значений функции

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.