Третья краевая задача

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена и британского физика Исаака Ньютона.

Постановка задачи

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

[math]\displaystyle{ Lu = f(\mathbf{x}) }[/math] в области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]

При граничных условиях следующего вида:

[math]\displaystyle{ \left. \left (au + b\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \right ) \right|_{\partial \Omega} = g(\mathbf{x}) }[/math]

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Физическая интерпретация

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде [math]\displaystyle{ - \lambda \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \beta (u-u_{\beta}(\mathbf{x})) }[/math] — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана.
• Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде [math]\displaystyle{ - \mu^{-1} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{n}} = \beta (E-u_{\beta}(\mathbf{x})) }[/math] (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
• Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи [math]\displaystyle{ \mathbf{H} = \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} }[/math], можно следующим образом:

[math]\displaystyle{ -\mathbf{E} \times \mathbf{n} + \sigma (\mathbf{H} \times \mathbf{n} ) \times \mathbf{n} = Q (\mathbf{E} \times \mathbf{n} + \sigma (\mathbf{H} \times \mathbf{n} ) \times \mathbf{n} ) + \mathbf{g} = 0 }[/math]

Аналитическое решение

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

Численное решение

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

• В методе конечных разностей строится разностная схема вида [math]\displaystyle{ a u_i + Ru_i = g(\mathbf{x}_i) }[/math], где [math]\displaystyle{ R }[/math] — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
• В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части:

[math]\displaystyle{ \int_{\partial \Omega}{\beta \varphi_i(\mathbf{x})\varphi_j(\mathbf{x})dx} }[/math] — добавка в [math]\displaystyle{ i }[/math]-й, [math]\displaystyle{ j }[/math]-й элемент матрицы;

[math]\displaystyle{ \int_{\partial \Omega}{\beta u_{\beta}(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} }[/math] — добавка в [math]\displaystyle{ i }[/math]-й элемент правой части.

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана