Группа классов идеалов

Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.

Определение

Пусть R — целостное кольцо, определим отношение [math]\displaystyle{ \sim }[/math] на его ненулевых дробных идеалах следующим образом: [math]\displaystyle{ I\sim J }[/math] тогда и только тогда, когда существуют ненулевые элементы a и b кольца R, такие что [math]\displaystyle{ (a)I = (b)J }[/math], легко показать, что это задаёт отношение эквивалентности. Классы эквивалентности по этому отношению называются классами идеалов. Умножение классов, определенное как [a]*[b] = [ab] корректно определено, ассоциативно и коммутативно; главные дробные идеалы образуют класс [R], являющийся единицей для этого умножения. Класс [I] имеет обратный к нему класс [J] тогда и только тогда, когда идеал IJ главный. В общем случае такой J может не существовать и классы идеалов будут всего лишь коммутативным моноидом.

Если R к тому же является дедекиндовым кольцом (например, кольцом алгебраических чисел некоторого алгебраического числового поля), то у каждого дробного идеала I существует обратный J, такой что IJ = R = (1). Следовательно, классы дробных идеалов дедекиндова кольца с определенным выше умножением образуют абелеву группу, группу классов идеалов кольца R.

Свойства

• Группа классов идеалов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы кольца R главные, то есть когда R является областью главных идеалов. При этом дедекиндово кольцо факториально тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.
• Число классов идеалов кольцо R в общем случае может быть бесконечным; более того, любая абелева группа изоморфна группе классов некоторого дедекиндова кольца. Однако если R — кольцо целых числового поля, его число классов конечно.
• Вычисление группы классов в общем случае является довольно трудным. Это можно сделать вручную для алгебраического числового поля с малым дискриминантом, используя границу Минковского. Для полей с большим дискриминантом вычисление вручную становится непрактичным, и его обычно проводят при помощи компьютера.

Примеры

Число классов квадратичного поля

Если d — число, свободное от квадратов, то [math]\displaystyle{ \mathbb Q(\sqrt d) }[/math] является квадратичным полем. Если d < 0, группа классов тривиальна только для следующих значений: [math]\displaystyle{ d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163. }[/math] Что касается случая d > 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопрос о том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальная группа классов.

Пример нетривиальной группы классов

[math]\displaystyle{ R = \mathbb Z[\sqrt {-5}] }[/math] — кольцо целых числового поля [math]\displaystyle{ \mathbb Q(\sqrt {-5}). }[/math] Это кольцо не является факториальным; действительно, идеал

[math]\displaystyle{ J=(2,1+\sqrt {-5}) }[/math]

не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом. На [math]\displaystyle{ R }[/math] можно определить функцию нормы [math]\displaystyle{ N(a+b\sqrt 5)=a^2+5b^2 }[/math], причем [math]\displaystyle{ N(ab)=N(a)N(b) }[/math] и [math]\displaystyle{ N(x)=1 }[/math] тогда и только тогда, когда x обратим. Прежде всего, [math]\displaystyle{ J\neq R }[/math]. Факторкольцо по идеалу [math]\displaystyle{ (1+\sqrt {-5}) }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ \mathbb Z/6 \mathbb Z }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ R/J\cong \mathbb Z/2 \mathbb Z }[/math]. Если J порожден элементом x, то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, норма x делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1, так как J не равен R, и не может быть равна 2, так как [math]\displaystyle{ a^2+5b^2 }[/math] не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить что [math]\displaystyle{ J^2 = (2) }[/math] — главный идеал, поэтому порядок J в группе классов равен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этих двух классов, требует чуть больших усилий.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group, Pacific Journal of Mathematics Т. 18: 219–222, <http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm/1102994263&page=record>  Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, vol. 27, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6