Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в [math]\displaystyle{ M }[/math] назовём сложением. Группа Гротендика моноида [math]\displaystyle{ M }[/math] (обозначается обычно [math]\displaystyle{ K }[/math] или [math]\displaystyle{ K_0 }[/math]) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида [math]\displaystyle{ M }[/math] до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика [math]\displaystyle{ K }[/math] должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

[math]\displaystyle{ i \colon M \rightarrow K }[/math]

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

[math]\displaystyle{ f \colon M \rightarrow A }[/math]

в абелеву группу [math]\displaystyle{ A }[/math] существует единственный гомоморфизм абелевых групп

[math]\displaystyle{ g \colon K \rightarrow A }[/math]

такой, что

[math]\displaystyle{ f = g \circ i. }[/math]

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид [math]\displaystyle{ M }[/math] в его группу Гротендика [math]\displaystyle{ K }[/math], является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение

Рассмотрим декартово произведение [math]\displaystyle{ M \times M }[/math], элементами которого являются пары [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], где [math]\displaystyle{ a,b \in M }[/math]. По определению, пары [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] соответствуют разностям [math]\displaystyle{ a-b }[/math], сложение которых задается формулой

[math]\displaystyle{ (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b'). }[/math]

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида [math]\displaystyle{ M }[/math]).

Для того, чтобы определить группу Гротендика [math]\displaystyle{ K }[/math], нужно ввести на множестве [math]\displaystyle{ M \times M }[/math] отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ (a',b') }[/math], для которых выполнено равенство

[math]\displaystyle{ a+b'+c = a'+b+c }[/math]

с некоторым элементом [math]\displaystyle{ c \in M }[/math]. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] включает в себя элементы [math]\displaystyle{ (a+c,b+c) }[/math] при всех [math]\displaystyle{ c \in M }[/math]. Этот класс называется формальной разностью элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ a-b }[/math].

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика [math]\displaystyle{ K }[/math] моноида [math]\displaystyle{ M }[/math].

Нейтральный (нулевой) элемент группы [math]\displaystyle{ K }[/math] — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида [math]\displaystyle{ (a,a) }[/math] при всевозможных [math]\displaystyle{ a \in M }[/math]. Элемент, противоположный к элементу [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], имеет вид [math]\displaystyle{ (b,a) }[/math] (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение [math]\displaystyle{ M \to K }[/math], которое позволяет считать [math]\displaystyle{ K }[/math] расширением [math]\displaystyle{ M }[/math]. Именно, каждому элементу [math]\displaystyle{ a \in M }[/math] ставится в соответствие формальная разность [math]\displaystyle{ a-0 }[/math], т.е. класс элементов [math]\displaystyle{ (a+c,c) }[/math] при всевозможных [math]\displaystyle{ c \in M }[/math].

Примеры

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением [math]\displaystyle{ (\mathbb N, +) }[/math] действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел [math]\displaystyle{ n-m }[/math] с отношением эквивалентности

[math]\displaystyle{ n - m \sim n' - m' \leftrightarrow n + m' = n'+ m. }[/math]

Теперь определим

[math]\displaystyle{ n := [n - 0], }[/math]

[math]\displaystyle{ -n := [0 - n] }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math]. Эта конструкция определяет целые числа [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math].

Ссылки

• Grothendieck group Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.